第十九讲 期末复习1-邦国教育2019-2020学年高二上册数学讲义

第十九讲 期末复习1 1、 知识梳理 1. 回顾数列有关知识点 2. 回顾不等式有关知识点 3. 回顾逻辑用语有关知识点 2、 例题讲解 例1.已知，则的最小值为________． 解： ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立. 答案：4 变式1　母题的条件不变，则的最小值为________． 解析：＝ ＝·＝5＋2 ≥5＋4＝9. 当且仅当a＝b＝时取等号． 答案：9 变式2　母题的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为________． 解：由＋＝4，得＋＝1. ∴a＋b＝(a＋b) ＝＋＋ ≥＋2 ＝1. 当且仅当a＝b＝时取等号． 答案：1 变式3　若母题条件变为“已知a>0，b>0，a＋2b＝3”，则＋的最小值为________． 解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1， ∴＋＝ ＝＋＋≥＋2 ＝. 当且仅当a＝2b＝时取等号． 答案： 变式4若母题的条件变为“已知a为正实数且a2＋＝1”，则a的最大值为________． 解析：因为a>0， 所以a＝ ≤，[来源:学+科+网] 又a2＋＝＋＝， 所以a≤＝， 当且仅当a＝，b＝时等号成立． 即(a)max＝. 答案： 变式5若母题变为：设a，b，c均为正数，满足a－2b＋3c＝0，则的最小值是________． 解析：∵a－2b＋3c＝0，∴b＝， ∴＝≥＝3， 当且仅当a＝3c时取“＝”． 答案：3 变式6　若母题变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得＝2a1，则＋的最小值为________． 解析：设公比为q(q＞0)，由a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2＝0(q＞0)⇒q＝2. ＝2a1⇒a12m－1·a12n－1＝8a⇒2m－1·2n－1＝8⇒m＋n－2＝3⇒m＋n＝5， 则＋＝(m＋n) ＝≥(5＋2)＝， 当且仅当n＝2m＝时等号成立． 答案： 例2.已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证：是等差数列； (2)求an的表达式. (1)证明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0. 因此－＝2(n≥2)． 故由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，2为公差的等差数列. (2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n， 即Sn＝. 由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－， 又∵a1＝，不适合上式． ∴an＝ 变式1　若将母题条件变为“数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，2Sn－nan＝n，”求证：{an}为等差数列． 证明：∵2Sn－nan＝n，① ∴当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1，② ∴①－②得：(2－n)an＋(n－1)an－1＝1，(1－n)an＋1＋nan＝1，∴2an＝an－1＋an＋1(n≥2)， ∴数列{an}为等差数列． 变式2　若母题变为：已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)，设bn＝(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列． 证明：∵an＝2－，∴an＋1＝2－. ∴bn＋1－bn＝－ ＝－＝＝1， ∴{bn}是首项为b1＝＝1， 公差为1的等差数列． 例3已知数列满足.数列前项和为. (Ⅰ) 求数列的通项公式； （Ⅱ）若，求正整数的值； （Ⅲ）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）， 数列的奇数项构成以1为首项，2为公差的等差数列， 数列的偶数项构成以2为首项，3为公比的等比数列， 故； （Ⅱ）若为奇数，则， 无解； 若为偶数，则， 即， 解得，； 综上所述，； （Ⅲ）由题意知， ， ， 故， 若，则， 若时，即时，， 所有满足条件的值为1，2． 例4.设：“方程表示圆”， ：“方程表示焦点在轴上的双曲线”，如果“”是假命题且“”是真命题，求实数的取值范围． 解：方程表示圆，则，即； 方程表示焦点在轴上的双曲线，则，即． 又“”是假命题且“”是真命题，则与一真一假． 若假真，则，得； 若真假，则，解得或． 实数的取值范围是或． 课堂训练：设命题：对任意，，不等式恒成立，命题：存在，，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围． 解：对于成立， 而，，有， ，； ：存在，，使得不等式成立，只需， 而， ，． （1）若为真，则； （2）若为假命题，为真命题，则，一真一假， 若为假命题，为真命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则，所以． 综上，或． 3、 自我检测 1．已知a>0，b>0，a，