2.3 函数的奇偶性与周期性(课件+作业)-2020高考理科数学【优化探究】一轮总复习(提升版)重点班

第三节　函数的奇偶性与周期性 考纲考情 素养形成 结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义. 核心素养 数学抽象 逻辑推理 数学建模 数学运算 直观想象 数据分析 素养形成 ☆ ☆ ☆ 考查角度 主要通过函数奇偶性、周期性及函数性质的综合应用，考查数学抽象、逻辑推理及数学运算三大核心素养. [主干知识·自主梳理]　　　　　　　　　　　　　　　　重温教材　自查自纠 授课提示：对应学生用书第18页 1．函数的奇偶性 奇偶性 定　义 图象特点 偶函数[来源:学科网ZXXK] 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 【知识拓展】 1．函数奇偶性的几个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．有关对称性的结论 (1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称． 若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称． (2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称； 若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称． 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【知识拓展】 定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x是恒成立的．若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|. 若在定义域内满足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝(a>0)，则f(x)为周期函数，且T＝2a为它的一个周期． ，f(x＋a)＝－ 对称性与周期的关系： (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期． (3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期． 1．下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x3＋3x2　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝xsin x D．f(x)＝log2 解析：法一：依题意，对于选项A，当x＝－1时，f(－1)＝2；当x＝1时，f(1)＝4，f(－1)≠－f(1)，因此函数f(x)＝x3＋3x2不是奇函数．对于选项B，注意到当x＝0时，f(0)＝1≠0，因此函数f(x)＝是奇函数，综上所述，选D. 的定义域是(－3,3)，且满足f(－x)＝－f(x)，因此函数f(x)＝log2>0得－3<x<3，即函数f(x)＝log2)，因此函数f(x)＝xsin x不是奇函数．对于选项D，由)≠－f(，f(－)＝时，f(；当x＝)＝时，f(－不是奇函数．对于选项C，当x＝－ 法二：由于A中的函数为非奇非偶函数，故排除A；由于B，C中的函数的定义域为R，且满足f(－x)＝f(x)，故它们都是偶函数，故排除B，C. 对于D，f(x)＝log2＝－f(x)，故它是奇函数，故选D. 的定义域为(－3,3)，且满足f(－x)＝log2 答案：D 2．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(　　) A．2 B．4 C．－2 D．－4 解析：根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3log22＝－2.故选C. 答案：C 3．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2 017)＝－f(2 017)，因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)