2.10.1 利用导数研究函数的单调性(课件+作业)-2020高考理科数学【优化探究】一轮总复习(提升版)重点班

第十节　导数的应用 第一课时　利用导数研究函数的单调性 考纲考情 素养形成 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 核心素养 数学抽象 逻辑推理 数学建模 数学运算 直观想象 数据分析 素养形成 ☆ ☆ 考查角度 主要通过单调性的判断考查逻辑推理与数学运算能力. [主干知识·自主梳理]　　　　　　　　　　　　　　　　　重温教材　自查自纠 授课提示：对应学生用书第41页 1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负关系 (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是增加的； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是减少的； (3)若f__′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数． 【知识拓展】 f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系 f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，但f′(x)≥0，所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f__′(x)； (2)在定义域内解不等式f__′(x)>0或f__′(x)<0； (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 【知识拓展】 在某个区间(a，b)上，若f　′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f　′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f　′(x)＝0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f　′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数． 1．已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递增区间是(　　) A．(－，0) B．(0，) C．(－∞，－)，(0，＋∞) D．(－∞，－)∪(0，＋∞) 解析：∵f′(x)＝3x2－2mx，∴f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2，∴由f′(x)＝3x2＋4x>0解得x<－)，(0，＋∞)，故选C. 或x>0，即f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 答案：C 2．已知函数f(x)＝sin(2x＋)，f′(x)是f(x)的导函数，则函数y＝2f(x)＋f′(x)的一个单调递减区间是(　　) A．[] ，]　　 B．[－， C．[－] ，] D．[－， 解析：由题意，得f′(x)＝2cos(2x＋]，故选A. ，(k∈Z)，所以y＝2f(x)＋f′(x)的一个单调递减区间为[≤x≤kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤2kπ＋≤2x＋)．由2kπ＋sin(2x＋)＝2＋sin(2x＋)＝2)＋2cos(2x＋)，所以y＝2f(x)＋f′(x)＝2sin(2x＋ 答案：A 3．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－<1，所以k≥1.故选D. 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<≥0恒成立，即k≥.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－ 答案：D 4．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________． 解析：由f(x)＝x3－15x2－33x＋6，得f′(x)＝3x2－30x－33，令f′(x)<0，即3(x－11)(x＋1)<0，解得－1<x<11，所以函数f(x)的单调减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11) 5．若f(x)＝xsin x＋cos x，则f(－3)，f()，f(2)的大小关系为________． 解析：函数f(x)为偶函数， 因此f(－3)＝f(3)． 又f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， 当x∈[，π]时，f′(x)≤0. 所以f(x)在区间[，π]上是减函数， 所以f()>f(2)>f(3)＝f(－3)． 答案：f(－3)<f(2)<f() 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f　′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f　′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立． [来源:学_科_网Z_X_X_K] 若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 解析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1， ∴f′(x)＝3x2＋2x＋m. 又∵f(x)在R上是单调增函数，∴f′(x)≥0恒成立， ∴Δ＝4－12m≤0，即m≥. 答案：[，＋∞) [考点分类·深度剖析]　　　　　　　　　　　　　　　　突破疑