2.10.2 用导数研究函数的极值与最值(课件+作业)-2020高考理科数学【优化探究】一轮总复习(提升版)重点班

第二课时　用导数研究函数的极值与最值 考纲考情 素养形成 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题). 核心素养 数学抽象 逻辑推理 数学建模 数学运算 直观想象 数据分析 素养形成 ☆ ☆ 考查角度 主要通过函数极值与最值求法应用考查逻辑推理与数学运算能力. [主干知识·自主梳理]　　　　　　　　　　　　　　　重温教材　自查自纠 授课提示：对应学生用书第43页 1．函数的极大值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值． 2．函数的极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 3．函数的最值与导数 (1)函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)． (2)函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)． 1．函数y＝xex的最小值是(　　) A．－1 B．－e C．－ D．不存在 解析：因为y＝x·ex， 所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex， 当x∈(－∞，－1)时，y′<0， 当x∈(－1，＋∞)时，y′>0， 所以当x＝－1时，ymin＝(－1)e－1＝－. 答案：C 2．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：如图，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A. 答案：A 3．已知函数f(x)＝＋ln x)，若x＝2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围为(　　) －k( A．(－∞，e] B．[0，e] C．(－∞，e) D．[0，e) 解析：f(x)＝＋ln x)， －k( 则f′(x)＝(ex－kx)， ∵x＝2是函数f(x)的唯一极值点， ∴x＝2是f′(x)＝0的唯一根． ∴ex－kx≥0在(0，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝ex－kx(x∈(0，＋∞))， 则g′(x)＝ex－k. 当k≤0时，g′(x)>0恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g(0)＝1，∴g(x)≥0恒成立． 当k>0时，g′(x)＝0的根为x＝ln k， 当0<x<ln k时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x>ln k时，g′(x)>0，g(x)单调递增． ∴g(x)的最小值为g(ln k)＝k－kln k， ∴k－kln k≥0， ∴0<k≤e， 综上所述，k≤e.故选A. 答案：A 4．函数f(x)＝x(x－a)2在x＝2处有极小值，则a＝________. 解析：f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x，f′(x)＝3x2－4ax＋a2，依题意可得f′(2)＝3×22－4a×2＋a2＝0，解得a＝2或a＝6.当a＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)，由f′(x)＝3(x2－8x＋12)>0可得x<2或x>6，由f′(x)＝3(x2－8x＋12)<0可得2<x<6，故f(x)在x＝2处取得极大值，不合题意．故a＝2. 答案：2 5．若函数f(x)＝mlnx＋(m－1)x存在最大值M，且M>0，则实数m的取值范围是________． 解析：f′(x)＝(x>0)， ＋(m－1)＝ 当m≤0或m≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调， 此时函数f(x)无最大值．当0<m<1时， 令f′(x)＝0，则x＝， ∴当0<m<1时，f(x)在(0，)上单调递增， 在(，＋∞)上单调递减， ∴当0<m<1时，函数f(x)有最大值， 最大值M＝f(－m. )＝mln ∵M>0，∴mln ， －m>0，解得m> ∴m的取值范围是(，1)． 答案：(，1) [来源:Z_xx_k.Com] 已知函数的极值求参数问题，一定要注意在极值点处左右两端导函数的符号． 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2，当x＝－1时有极值0，则a＋b的值为________． 解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋b， 由题意得即 解之，得或 当a＝1，