2.10.3 导数的综合应用(课件+作业)-2020高考理科数学【优化探究】一轮总复习(提升版)重点班

第三课时　导数的综合应用 [考点分类·深度剖析]　　　　　　　　　　　　　　　突破疑难　通法悟道 授课提示：对应学生用书第45页[来源:Z#xx#k.Com] 考点一　利用导数研究函数的零点或方程根———(核心考点——合作探究) 　设函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋aln x，a>0. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)讨论函数f(x)的零点个数． 解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝x－(a＋1)＋， ＝＝ 当0<a<1时，由f′(x)<0， 得a<x<1， 由f′(x)>0，得0<x<a或x>1，[来源:学.科.网Z.X.X.K] 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)．[来源:学,科,网] 当a＝1时，f′(x)＝≥0恒成立， 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间． 当a>1时，由f′(x)<0， 得1<x<a， 由f′(x)>0，得0<x<1或x>a， 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(a，＋∞)，单调递减区间为(1，a)． (2)由(1)可知，当0<a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)， 所以f(x)极大值＝f(a)＝－a2－a＋aln a<0， f(x)极小值＝f(1)＝－－a<0， 又f(2a＋2)＝aln(2a＋2)>0， 所以函数f(x)有唯一零点． 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)内单调递增， 又f(1)＝－<0，f(4)＝2ln 2>0， 所以函数f(x)有唯一零点． 当a>1时，函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和(a，＋∞)，单调递减区间是(1，a)， 所以f(x)极大值＝f(1)＝－－a<0， f(x)极小值＝f(a)＝－a2－a＋aln a<0，[来源:学§科§网Z§X§X§K] 又f(2a＋2)＝aln(2a＋2)>0， 所以函数f(x)有唯一零点． 综上，函数f(x)有唯一零点． [方法总结]　利用导数研究方程根(函数零点)的技巧 1．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等． 2．根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置． 3．利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． (2019·武汉市高三二调)已知函数f(x)＝xex－a(ln x＋x)，a∈R. (1)当a＝e时，判断f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a＝e时，f′(x)＝， 令f′(x)＝0，得x＝1， ∵当0<x<1时，f′(x)<0， 当x>1时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． (2)记t＝ln x＋x，则t＝ln x＋x在(0，＋∞)上单调递增，且t∈R. ∴f(x)＝xex－a(ln x＋x)＝et－at，令g(t)＝et－at. ∴f(x)在x>0上有两个零点等价于g(t)＝et－at在t∈R上有两个零点． ①当a＝0时，g(t)＝et，在R上单调递增，且g(t)>0，故g(t)无零点； ②当a<0时，g′(t)＝et－a>0，g(t)在R上单调递增， 又g(0)＝1>0， g()＝－1<0，故g(t)在R上只有一个零点； ③当a>0时，由g′(t)＝et－a＝0可知g(t)在t＝ln a时有唯一的一个极小值g(ln a)＝a(1－ln a)． 若0<a<e，g(t)极小值＝a(1－ln a)>0，g(t)无零点； 若a＝e，g(t)极小值＝0，g(t)只有一个零点； 若a>e，g(t)极小值＝a(1－ln a)<0，而g(0)＝1>0， 由y＝在x>e时为减函数，可知 当a>e时，ea>ae>a2， 从而g(a)＝ea－a2>0， ∴g(x)在(0，ln a)和(ln a，＋∞)上各有一个零点． 综上，当a>e时，f(x)有两个零点，即实数a的取值范围是(e，＋∞)． 考点二　利用导数研究与不等式有关问题———(核心考点——合作探究) 导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中、高档题.常见的命题角度有：(1(证明不等式.(2(不等式恒成立问题.(3(存在型不等式成立问题. 角度1　证明不等式 　(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数ƒ(x)＝. (1)求曲线y＝ƒ(x)在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a≥1时，ƒ(x)＋e≥0. 解析：(1)ƒ′(x)＝，ƒ′(0)＝2. 因此曲线y＝ƒ(x)在(0，－1)处的切线方程是 2x－y－1＝0. (2)证明：当a≥1时，ƒ(x)＋e