2019年全国中考数学真题分类汇编：代数几何综合压轴题（含答案）

2019年全国中考数学真题分类汇编：代数几何综合压轴题 一、选择题 1. （2019年四川省达州市）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2， 2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC， 过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论： ①OA＝BC＝2；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质 【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2）， ∴OA＝BC＝2；故①正确； ②∵点D为OA的中点， ∴OD＝OA＝， ∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确； ③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E， ∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形， ∴EF＝OC＝2， 设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a， 在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝， ∴BE＝PE＝a， ∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a）， ∵PD⊥PC， ∴∠CPE+∠FPD＝90°， ∵∠CPE+∠PCE＝90°， ∴∠FPD＝∠ECP， ∵∠CEP＝∠PFD＝90°， ∴△CEP∽△PFD， ∴＝， ∴＝， ∴FD＝， ∴tan∠PDC＝＝＝， ∴∠PDC＝60°，故③正确； ④∵B（2，2），四边形OABC是矩形， ∴OA＝2，AB＝2， ∵tan∠AOB＝＝， ∴∠AOB＝30°， 当△ODP为等腰三角形时， Ⅰ、OD＝PD， ∴∠DOP＝∠DPO＝30°， ∴∠ODP＝60°， ∴∠ODC＝60°， ∴OD＝OC＝， Ⅱ、OP＝OD， ∴∠ODP＝∠OPD＝75°， ∵∠COD＝∠CPD＝90°， ∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去； Ⅲ、OP＝PD， ∴∠POD＝∠PDO＝30°， ∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去， ∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．故④正确， 故选：D． 二、解答题 1. （2019年四川省攀枝花市）已知抛物线的对称轴为直线x=1，其图像与轴相交于、两点，与轴交于点。 （1）求，的值； （2）