2019-2020学年北师大版数学必修一课件+教师用书+分层训练：第2章 §3　函数的单调性 (3份打包)

§3　函数的单调性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数单调性的概念及其几何意义．(难点) 2．掌握用定义证明函数单调性的步骤．(重点) 3．会求函数的单调区间，理解函数单调性的简单应用．(难点) 1.通过学习函数单调性的概念及几何意义，提升数学抽象素养． 2．通过函数单调性的证明，培养逻辑推理素养. 1．函数在区间上增加(减少)的定义 阅读教材P36～P37第二自然段结束，完成下列问题． 在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) f(x)在区间A上是增加的(递增的) 都有f(x1)>f(x2) f(x)在区间A上是减少的(递减的) 思考1：对于函数f(x)＝x2，x∈[－1,1]，由于f(－1)>f(0)，所以f(x)在区间[－1,1]上是递减的，这个结论正确吗？ [提示]　不正确．在函数递增的定义中，要求对于任意x1，x2∈A，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，本推理不满足定义． 2．单调区间、单调性和单调函数的概念 阅读教材P37第三自然段开始～P38“函数f(x)＝3x＋2是R上的增函数”的有关内容，完成下列问题． (1)函数的单调区间 如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的． (2)函数的单调性 如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性． (3)单调函数 如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数． 思考2：函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)，还是(－∞，0)和(0，＋∞)? [提示]　函数y＝的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)． 3．函数最大值、最小值的概念 阅读教材P38第二自然段及左侧“思考”～P39“练习”以上内容，完成下列问题． 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意x∈D，都有f(x)≤M； ②存在x0∈D，使得f(x0)＝M ①对任意x∈D都有f(x)≥M； ②存在x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 思考3：(1)任何函数都有最大值或最小值吗？ (2)当x∈R时，f(x)＝x2，x∈R的最小值吗？x2≥－1，－1是函数f(x)＝ (3)函数f(x)的最大(小)值的几何意义分别是什么？ [提示]　(1)不一定，如函数y＝2x，x∈R就无最大值和最小值． (2)不是，虽然f(x)≥－1，但是不存在x0∈R，使f(x0)＝－1.根据最小值的定义可知－1不是函数f(x)的最小值． (3)函数f(x)的最大(小)值的几何意义分别是函数f(x)的图像上最高(低)点的纵坐标． 1．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　) A．k>　　　　 B．k>－ C．k< D．k<－ C　[由y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数， 所以2k－1<0得k<，故选C.] 2．函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．f(－2)，0　　　　 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 C　[由最大(小)值的几何意义，可知f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－2)．] 3．函数f(x)＝x2－1，x∈R的最小值是________． －1　[f(x)＝x2－1≥－1，又f(0)＝－1，所以f(x)的最小值是－1.] 4．已知函数f(x)在R中是增函数，则当x1<x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系是________． f(x1)<f(x2)　[根据增函数的定义知，f(x1)<f(x2)．] 用定义判断或证明函数的单调性 【例1】　证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数． [思路探究]　在(0,1)上任取x1，x2且x1＜x2，通过作差比较法证明f(x1)＞f(x2)． [解]　任取x1，x2∈(0,1)，且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝－ ＝， 由0<x1<x2<1，得x2－x1>0，x1x2－1<0，x1x2>0， 所以，f(x2)－f(x1)<0， 于是f(x2)<f(x1)． 根据减函数的定义知，f(x)在(0,1)上为减函数． 用定义判断或证明单调性的步骤 (1(设元：在指定区间内任取x1，x2且x1＜x2. (2(作差变形：计算f(x1(－f(x2(，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子(几个因式的积或几个完全平方式的和(. (3(定号：确定