19-20辽宁人教B版数学必修一（课件+教师用书+课时分层作业）：第4章 4.4.1　函数的零点 (3份打包)

4.4　函数与方程 4.4.1　函数的零点 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数零点的概念．(重点) 2.会求一次函数、二次函数的零点．(重点) 3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点) 1.通过函数零点概念与零点个数的判断，培养学生的数学抽象素养. 2.借助函数零点的应用提升直观想象、数学运算素养. 函数的零点 (1)定义： 如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点． (2)性质： ①当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号． ②两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号． 思考：怎样判断函数零点的个数？ [提示]　(1)转化为解方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，进而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在(a，b)上至少有一个零点． (4)转化为两个函数图象的交点个数问题． 1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是(　　) A．－2,3　　　　　　　　 B．2,3 C．(2,0)，(3,0) D．(－2,0)，(－3,0) B　[令－x2＋5x－6＝0，得x1＝2，x2＝3.] 2．下列说法中正确的个数是(　　) ①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)； ②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1； ③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点； ④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 B　[根据函数零点的定义， f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1. 函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 因此，只有说法②④正确．] 3．已知函数f(x)＝ax2－bx＋1的零点为－，则a＝________，b＝________. ， －6　1　[由题意可知] 解得 4．关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的两根满足(x1－1)(x2－1)＜0，则a的取值范围是________． (－2,1)　[由(x1－1)(x2－1)＜0，得方程有一根比1大，另一根比1小，令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，只需f(1)＜0，求得－2＜a＜1.] 求函数的零点 【例1】　求下列函数的零点． (1)f(x)＝kx＋b(k≠0)； (2)f(x)＝2x2－5x＋2； (3)f(x)＝x3＋2x－3. [解]　(1)f(x)＝k.，所以零点为－ (2)f(x)＝(x－2)(2x－1)，所以零点为2，. (3)f(x)＝x3－1＋2x－2＝(x－1)(x2＋x＋1)＋2(x－1)＝(x－1)(x2＋x＋3)，因为x2＋x＋3＝＞0恒成立，所以f(x)零点为1.2＋ 求函数零点的两种方法 (1(代数法：求方程f(x(＝0的实数根. (2(几何法：对于不易求根的方程f(x(＝0，可以将它与函数y＝f(x(的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 1．函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________． 0，－　[∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0，即b＝－2a， ∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)， ∵－ax(2x＋1)＝0，即x＝0或x＝－， ∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－.] 函数零点个数的判断 【例2】　判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－. [思路探究]　(1)中f(x)为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数． [解]　(1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点． (2)法一：(几何法)由x2－.＝0，得x2＝ 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝. 在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－只有一个零点． 法二：(代数法)令f(x)＝0，即x2－＝0. ∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0. ∴x＝1或x2＋x＋1＝0. ∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点． 判断函数零点个数的三种方法 (1(利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几