精品解析：湖南省长沙市明德中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题

湖南省长沙市明德中学2018-2019学年下学期高一期中试卷 数学 2018年11月 第I卷（选择题 共48分） 一、选择题（本小题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系求得正确答案. 【详解】由于， 所以, 所以C选项正确，ABD选项错误. 故选：C 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解方程确定集合B，再应用集合的交补运算求结果. 【详解】由，又，且，则. 故选：B 3. 若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ） A. 1.2 B. 1.4 C. 1.3 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果. 【详解】因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点， 因为，所以满足精确度； 所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B . 故选：B 4. 函数的定义域为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式，平方根和对数的性质，分别求出定义域，再求出交集即可. 【详解】对于函数，则，且， 解得，故定义域为； 故选：． 5. 设集合，集合，下列对应关系中是从集合到集合的映射的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据映射的定义即可逐一求解. 【详解】对于A，故在集合中无元素与之对应，故错误， 对于B,，集合中的元素1，在集合中无元素与之对应，故错误， 对于C，，集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，故C对， 对于D，，集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，故错误， 故选：C． 【点睛】①映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数； ②映射的两个特征：一是在A中取元素的任意性，二是在B中对应元素的唯一性； ③映射问题允许多对一，但不允许一对多． 6. 设函数，若是奇函数，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的性质及区间解析式求函数值即可. 【详解】由是奇函数，得. 故选：D 7. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则 确定原平面图形的形状及部分边长： 在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍． 已知直观图是底角为，腰和上底均为的等腰梯形，因为直观图中腰长为且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为． 原图如下： 将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得． 原平面图形的面积是． 故选：A． 8. 已知函数与函数的图像关于直线对称，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反函数的定义，结合对数函数的单调性即可得到结果. 【详解】因为函数与函数的图像关于直线对称，∴， 所以，∴，∴， 解得， 故选:A． 9. 函数的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 因为中函数有定义，则，即， 则排除，，，故选． 10. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一开始离学校最远，排除部分选项，再根据跑和走离学校的距离减少的较慢判断. 【详解】首先一开始离学校最远，则CD错误； 开始是跑，所以在较短的时间内离学校的距离减少的较快， 而后是走，所以离学校的距离减少的较慢， 故选：B 11. 已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】因为单调递增，所以，所以，故选C． 点睛：分段函数的单调性问题，要分别单调和整体单调同时满足．本题中，结合函数的性质，可以得到，所以解出． 12. 已知函数，若（互不相等），且的取值范围为，则实数的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】做出的图像，结合函数图像与对数运算即可得到结果. 【详解】 做出图像，如图所示，可令，则由图知点， 关于直线对称，所以， 又，所以， 由于（互不相等）， 结合图像可知点的坐标为， 代入函数解析式，得，解得， 故选:． 第II卷（非选择题 共72分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 13. 已知函数的图象恒过定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数的性质确定题设中指数型函数所过的定点即可. 【详解】令，得，则， 所以函数的图象恒过定点． 故答案为： 14. 已知幂函数的图象关于轴对称，并且在第一象限是单调递减函数，则__________． 【答案】1 【解析】 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称， 所以函数是偶函数，∴为偶数，∴为奇数，故． 15. 函数的单调递增区间是____. 【答案】 【解析】 【分析】先求函数定义域，再根据对数函数及二次函数单调性性质即可求解. 【详解】由，得或， 所以定义域为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 函数为减函数， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故的增区间为，减区间为. 故答案为：. 16. 已知函数，正实数，满足，且，若在区间上的最大值为2，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先画出函数图像并判断，再根据范围和函数单调性判断时取最大值，最后计算得到答案. 【详解】如图所示：根据函数的图象 得，所以．结合函数图象， 易知当时在上取得最大值，所以 又，所以， 再结合，可得，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题. 三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤） 17. 设集合，，． （）求． （）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（）先求的集合，， 即可求解． （）由，所以，分是空集和非空集合，分类讨论即可求解实数的取值范围． 试题解析： （），， 所以． （）因为，所以， 若是空集，则，得到， 若非空，则，得， 综上所述，，即的取值范围是． 18. （1）计算． （2）计算． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解； （2）根据题意，结合对数的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解. 【详解】解：（1）根据指数幂的运算性质，可得： ； （2）由对数的运算性质，可得： . 19. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）为奇函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先确定函数定义域关于原点对称，根据可证得为奇函数； （2）利用单调性定义可证得在上单调递减，结合奇偶性可将不等式化为，根据单调性可得自变量大小关系，由此可解得结果. 【小问1详解】 为奇函数，证明如下： 由题意知：的定义域为， ，， 即，为定义在上的奇函数. 【小问2详解】 设，则， ，，，， ，在上单调递减； 由得：， ，即，解得：或， 的解集为. 20. 如图，正方体的棱长为a，连接，，得到一个三棱锥；求： （1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值； （2）三棱锥的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正三棱锥及正方体的表面积公式计算即可； （2）利用割补法求体积即可. 【小问1详解】 ∵是正方体， ∴六个面都是正方形， ∴，即三棱锥A′­BC′D为正三棱锥， ∴， ∴. 【小问2详解】 显然，三棱锥是完全一样的， ∴ ＝. 21. 某公司生产一种产品的固定成本为0．5万元，但每生产100件需要增加投入0．25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R(x)＝5x－(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件)． （1）把利润表示为年产量的函数f(x)； （2）年产量为多少时，当年公司所得利润最大？ 【答案】（1）f(x)＝； （2）475件． 【解析】 【分析】(1)根据利润＝总收入－总成本即可列出f(x)解析式； (2)根据f(x)的解析式，求其最大值即可﹒ 小问1详解】 产量为x(百件)， 当0≤x≤5时，f(x)＝5x－－(0.5＋0.25x)； 当x＞5时，销售收入为万元，此时f(x)＝－(0.5＋0.25x)＝12－0.25x； ∴f(x)＝； 【小问2详解】 当0≤x≤5时，f(x)＝＋10.78125； 当x＞5时，函数f(x)为单调递减函数． ∴当x＝4.75时，即年产量475件时，公司所得利润最大． 22. 定义：对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部奇函数”． （1）已知二次函数，试判断是否为定义域上的“局部奇函数”?若是，求出所有满足的的值；若不是，请说明事由． （2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围． （3）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）为“局部奇函数”；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解，有解则是“局部奇函数”，若无解，则不是；（2）（3）都是利用“局部奇函数的定义”，建立方程关系，并将方程有解的问题转化成二次方程根的分布问题，从而求出各小问参数的取值范围. 【详解】（1）当时， 方程即为，解得：. 所以为“局部奇函数”； （2）当时，可化为 因为的定义域为，所以方程在上有解 令，则，设，则在上为减函数，在上为增函数，所以当时，，所以，即； （3）当为定义域上的“局部奇函数”时 ,可化为， 令则, 从而在有解,即可保证为“局部奇函数” 令，则 i.当时,在有解,即,解得 ii.当时,在有解等价于 解得; 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市明德中学2018-2019学年下学期高一期中试卷 数学 2018年11月 第I卷（选择题 共48分） 一、选择题（本小题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程一个近似根（精确度0.1）为（ ） A. 1.2 B. 1.4 C. 1.3 D. 1.5 4. 函数的定义域为（ ）． A. B. C. D. 5. 设集合，集合，下列对应关系中是从集合到集合的映射的是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，若是奇函数，则的值是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数与函数的图像关于直线对称，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 9. 函数大致图象是（ ）． A. B. C. D. 10. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A B. C. D. 或 12. 已知函数，若（互不相等），且的取值范围为，则实数的值为（ ）． A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共72分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 13. 已知函数图象恒过定点，则点的坐标为__________． 14. 已知幂函数的图象关于轴对称，并且在第一象限是单调递减函数，则__________． 15. 函数的单调递增区间是____. 16. 已知函数，正实数，满足，且，若在区间上的最大值为2，则________. 三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤） 17. 设集合，，． （）求． （）若，求的取值范围． 18. （1）计算． （2）计算． 19. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）解关于的不等式. 20. 如图，正方体的棱长为a，连接，，得到一个三棱锥；求： （1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值； （2）三棱锥的体积． 21. 某公司生产一种产品的固定成本为0．5万元，但每生产100件需要增加投入0．25万元，市场对此产品的需求量为500件，销售收入为函数R(x)＝5x－(0≤x≤5)万元，其中x是产品售出的数量(单位：百件)． （1）把利润表示为年产量的函数f(x)； （2）年产量为多少时，当年公司所得利润最大？ 22. 定义：对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”． （1）已知二次函数，试判断是否为定义域上的“局部奇函数”?若是，求出所有满足的的值；若不是，请说明事由． （2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围． （3）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $