19-20辽宁人教B版数学必修一（课件+教师用书+课时分层作业）：第4章 4.1.3　函数的单调性 (3份打包)

4.1.3　函数的单调性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义．(重点) 2.掌握定义法判断函数单调性的步骤．(重点) 3.掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)．(难点) 1.通过函数单调性定义的学习，培养学生的数学抽象素养. 2.借助函数单调性的应用，提升逻辑推理素养. 1．增、减函数的概念 2．函数的单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 思考：如何正确理解函数单调性的概念？ [提示]　(1)定义中“区间M⊆A”及“在这个区间M上”说明了：函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是函数的整个定义域也可以是定义域的某个子集． (2)定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性，即“任意取x1，x2”，所以，在证明单调性时“任意”二字不能丢掉，更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2；三是同属于一个单调区间． (3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系实现正逆互推，即由f(x)是减(增)函数且f(x1)＜f(x2)⇔x1＞x2(x1＜x2)． 1．函数f(x)的图象如图所示，则(　　) A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数 B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数 C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数 D．函数f(x)在[2,4]上是增函数 A　[由函数图象及函数单调性的定义可知f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数．] 2．函数f(x)＝的减区间为(　　) A．(－∞，＋∞)　　　　 B．(－∞，0)∪(0，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞) D　[画出反比例函数y＝的图象，由图象可知其减区间为：(－∞，0)和(0，＋∞)．] 3．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________． (－∞，1)　[因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．] 4．已知函数f(x)的图象如图，则f(x)的单调减区间为________，最大值为________，最小值为________． [－3,1]　2　－3　[由函数的图象可知f(x)的单调减区间为[－3,1]，最大值为2，最小值为－3.] 求函数的单调区间 【例1】　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． (1)f(x)＝－； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. [思路探究]　(1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间． [解]　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数． (2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数． (3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝ 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数． 1．求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解； (2)利用函数的图象，如本例(3)． 2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)． 1．若f(x)＝则f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________． (－∞，0]，[1，＋∞)　(0,1)　[作出函数f(x)的图象(图略)，利用图象易写出它的增区间和减区间．] 函数单调性的判定与证明 【例2】　(1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝3－x　　　　 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ D．f(x)＝x2＋2x (2)用定义法证明函数f(x)＝在区间(0,1)上是减函数． [思路探究]　(1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断． (2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得． (1)D　[对于A：f(x)在R上递减，不合题意；对于B：f(x)的对称轴是x＝1，在(0,1)上递减，不合题意；对于C：f(x)在(0，＋∞)上递减，不合题意；对于D：f(x)的对称轴是x＝－1