19-20辽宁人教B版数学必修一（课件+教师用书）：第2章 章末复习课 (2份打包)

充分条件、必要条件与充要条件的探究 【例1】　已知p：－2<m<0,0<n<1；q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根．试分析p是q的什么条件． [解]　若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1，x2，则0＜x1＜1,0＜x2＜1， 有0＜x1＋x2＜2且0＜x1x2＜1. 根据根与系数的关系得 即－2＜m＜0,0＜n＜1，故有q⇒p. 反之，取m＝－＝0，x＋，那么方程变为x2－，n＝ 则Δ＝＜0，此时方程x2＋mx＋n＝0无实根，所以pD/⇒q.－4× 综上所述，p是q的必要不充分条件． 对于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定，记“若p，则q”为真命题，记为“p⇒q”，“若p，则q”为假命题，记为“pD/⇒q”. 提醒：充分条件、必要条件与充要条件的探究，需要从两个方面加以论证，切勿漏掉其中一个方面. 1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件： (1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC； (2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0； (3)p：a<b，q：<1. [解]　在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p是q的充要条件； 在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定有a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件； 在(3)中，若a<b<0，则推不出<1，当b<0时，也推不出a<b，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件.<1，反之若 命题的否定 【例2】　写出下列命题的否定： (1)若x＝2或x＝－1，则x2－x－2＝0； (2)若集合B真包含于集合A，则集合A包含于集合B. [解]　(1)命题的否定：若x＝2或x＝－1，则x2－x－2≠0. (2)命题的否定：若集合B真包含于集合A，则集合A不包含于集合B. 命题的否定的特征 (1)定义 命题的否定一般是直接对命题的结论进行否定． (2)构成形式 对于“若p，则q”形式的命题，其命题的否定为“若p，则q”． (3)与原命题的真假关系 命题的否定与原命题的真假性总是相对的，即一真一假． 2．请写出下列命题的否定． (1)若|x|＋|y|＝0，则x＝y＝0； (2)若△ABC是等腰三角形，则它有两个内角相等． [解]　(1)命题的否定：若|x|＋|y|＝0，则x，y中至少有一个不为0. (2)命题的否定：若△ABC是等腰三角形，则它的任意两个内角都不相等. 全称命题与存在性命题 【例3】　(1)下列语句不是全称命题的是(　　) A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数 C．高一(一)班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小 (2)命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则(　　) A．p是假命题；p：∃x∈R，x2＜0 B．p是假命题；￢p：∃x∈R，x2≤0 C．p是真命题；￢p：∀x∈R，x2＜0 D．p是真命题；￢p：∀x∈R，x2≤0 (1) C　(2) B 　[(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称命题；故选C. (2) 由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称命题的否定为存在性命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B.] 1．全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题． 2．要判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判断一个全称命题为假命题，只需举出一个反例即可． 3．要判断一个存在性命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x使p(x)成立即可，否则这一存在性命题为假命题． 3．(1)下列命题不是存在性命题的是(　　) A．有些实数没有平方根 B．能被5整除的数也能被2整除 C．在实数范围内，有的一元二次方程无解 D．有一个m使2－m与|m|－3异号 (2)命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________． (1)B　(2)存在一个能被7整除的数不是奇数　[(1)选项A、C、D中都含有存在量词，故都为存在性命题，选项B中不含存在量词，不是存在性命题．(2)原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．] 分类讨论思想的应用 【例4】　已知关于x的方程(m∈Z)： mx2－4x＋4＝0，① x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，② 求方程①和②的根都是整数的充要条件． [解]　当m＝0时，方程①的根为