2019-2020学年人教B版数学必修5（课件+教师用书+课时分层作业）第1章 解三角形 (共17份打包)

1.1　正弦定理和余弦定理 1.1.1　正弦定理 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握正弦定理及基本应用．(重点) 2．会判断三角形的形状．(难点) 3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易混点) 1.借助正弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养． 2．通过正弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养. 1．正弦定理 2．解三角形 (1)一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？ [提示]　需要两角和一边或两边和其中一边的对角． 1．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，sin A＝.则sin B＝(　　) A．　　　　　 B． C． D．1 B　[由正弦定理，故选B．]＝＝可得，sin B＝＝ 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，若∠B＝30°，b＝2，则的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 C　[由正弦定理可得＝4.]＝＝ 3．在△ABC中，若，则∠B的大小为______________． ＝ 45 °　[由正弦定理知， ＝ ∴sin B＝cos B， ∴∠B＝45°.] 4．在△ABC中，＝________. －－ 0　[由于＝0.]＋＝－－，所以＝＝ 已知两角及一边解三角形 【例1】　(1)在△ABC中，已知c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a，b； (2)在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，求∠A，b，c． [解]　(1)法一：∵∠A＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝105°. 由. ＝10＝得a＝＝ ∵sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝， ∴b＝. ＋5＝5＝20× 法二：设△ABC外接圆的直径为2R， 则2R＝＝20. ＝ 易知∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝105°， ∴a＝2Rsin A＝20×sin 45°＝10， b＝2Rsin B＝20×sin 105° ＝20× ＝5. ＋5 (2)∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由正弦定理. ＝4＝，得b＝＝ 由＋1)．＝4(＝＝，得c＝＝ 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 1．在△ABC中，a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求边c． [解]　由三角形内角和定理知∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理， ＝ 得c＝a·＝5·＝5· ＝5·)．＋(＝ 已知两边及一边 的对角解三角形 【例2】　在△ABC中，分别根据下列条件解三角形： (1)a＝1，b＝，∠A＝30°； (2)a＝，b＝1，∠B＝120°. [解]　(1)根据正弦定理，sin B＝. ＝＝ ∵b>a，∴∠B>∠A＝30°，∴∠B＝60°或120°. 当∠B＝60°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋60°)＝90°， ∴c＝＝2； ＝ 当∠B＝120°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝∠A，∴c＝a＝1. (2)根据正弦定理，sin A＝>1. ＝＝ 因为sin A≤1.所以A不存在，即无解． 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法： (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一． (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． 2．已知△ABC，根据下列条件，解三角形： (1)a＝2，c＝； ，∠C＝ (2)a＝2，c＝. ，∠A＝ [解]　(1)∵， ＝ ∴sin A＝. ＝ ∵c>a，∴∠C>∠A．∴∠A＝. ∴∠B＝＝，b＝ ＝＋1. (2)∵， ＝ ∴sin C＝. ＝ 又∵a<c，∴∠C＝. 或 当∠C＝＋1. ＝，b＝时，∠B＝ 当∠C＝－1.]＝，b＝时，∠B＝ 利用正弦定理判断 三角形的形状 [探究问题] 1．已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理． [提示]　如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°， ∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD