2019-2020学年人教A版数学必修5（课件+教师用书+课时分层作业）第1章 解三角形 (共20份打包)

1.1　正弦定理和余弦定理 1.1.1　正弦定理 第1课时　正弦定理(1) 学 习 目 标 核 心 素 养 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明(难点). 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点)． 1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养学生逻辑推理的核心素养. 2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养了学生数学运算的核心素养. 1．正弦定理 思考：如图所示，在Rt△ABC中，各自等于什么？，， [提示]　＝c.＝＝ 2．解三角形 (1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 思考：利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题？ [提示]　利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角． 1．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是(　　) A．＝　 B．＝ C．asin B＝bcos A D．acos B＝bsin A B　[在△ABC中，由正弦定理.]＝，得＝ 2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________． 2， ＝　[由正弦定理得： 所以AC＝.]＝2 3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于_________． .]　[AC边上的高为ABsin A＝csin A＝2sin 45°＝ 4．在△ABC中，若a＝3，b＝，则C＝________．，A＝ ， ＝　[由正弦定理得： 所以sin B＝. 又a>b，所以A>B，所以B＝， 所以C＝π－.]＝ 正弦定理证明 【例1】　在钝角△ABC中，证明正弦定理． [证明]　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点， 根据正弦函数的定义知： ＝sin∠CAD＝sin(180°－A) ＝sin A，＝sin B. ∴CD＝bsin A＝asin B. ∴.＝ 同理，.＝ 故.＝＝ 1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固． 2．要证，只需证asin B＝bsin A，而asin B，bsin A都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．＝ 1．如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明＝2R. [证明]　连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C， 则圆周角∠A′＝∠A. ∵A′B为直径，长度为2R， ∴∠A′CB＝90°， ∴sin A′＝， ＝ ∴sin A＝＝2R.，即 已知两角及一边解三角形 【例2】　在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形． [解]　因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°. 由.＝10＝10×得a＝＝ 因为sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.＋5＝5＝20×＝，所以b＝ 已知三角形的两角和任一边解三角形的思路 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 2．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c. [解]　由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°， 所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理， ＝ 得c＝a·＝5·＝5· ＝5· ＝).＋( 已知两边及一边的对角解三角形 【例3】　(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________． (2)在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形． (1)75°　[由题意得：，因为b＜c，所以B＝45°，所以A＝180°－B－C＝75°.]＝＝，所以sin B＝＝ (2)[解]　因为.因为0°＜C＜180°，所以C＝60°或C＝120°.＝＝，所以sin C＝＝ 当C＝60°时，B＝75°，b＝＋1；＝＝ 当C＝120°时，B＝15°，b＝－1.＝＝ 所以b＝－1，B＝15°，C＝120°.＋1，B＝75°，C＝60°或b＝ 已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐