2019-2020学年人教A版数学必修4（课件+教师用书+课时分层作业）第3章 三角恒等变换 (共15份打包)

3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1　两角差的余弦公式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点) 2.理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点) 3.熟练利用两角差余弦公式进行求值计算．(重点、易混点) 1.借助用向量法推导两角差的余弦公式，培养学生的数学建模的核心素养. 2.通过用两角差余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数据分析的核心素养. 1．两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反 思考：cos(α－β)＝cos α－cos β成立吗？ [提示]　不一定成立，这是对公式的误解． 2．两角差的余弦公式的推导 在平面直角坐标系中作单位圆O，以Ox为始边作α，β，它们的终边与单位圆分别交A，B，则 ＝(cos β，sin β)， ＝(cos α，sin α)， ∴＝cos αcos β＋sin αsin β， · 设的夹角为θ，则由数量积定义知 与 |cos θ＝cos θ， ||＝|· ∴cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β. ∵α＝2kπ＋β＋θ(如图1)或α＝2kπ＋β－θ(k∈Z)(如图2)，∴α－β＝2kπ±θ(k∈Z)， 图1 图2 所以cos(α－β)＝cos θ， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． 1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于(　　) A．cos 100°　　 B．sin 100° C． D． C　[原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝.] 2．cos(－15°)的值是(　　) A．　　　 B． C． D． D　[cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝.]＝×＋× 3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ ． .]　[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝ 4．已知α是锐角，sin α＝＝ ． ，则cos .]＝×＋×sin α＝cos α＋sin＝cos，∴cos　[由条件可求的cos α＝ 给角求值问题 【例1】　(1)cos的值为(　　) A． D．－ C．　B． (2)求下列各式的值： ①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°； ③sin 15°. cos 15°＋ (1)D　[cos＝－cos＝cos ＝－cos ＝－cossin－sincos ＝－.]＝－×－× (2)[解]　①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝. ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76° ＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°) ＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14° ＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝. ③sin 15°cos 15°＋ ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝. 1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． 2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加． 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. [解]　(1)原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)] ＝cos 45°＝. (2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－4