2019-2020学年人教A版数学必修2（课件+教师用书+课时分层作业）第3章 直线与方程 (共23份打包)

3.1　直线的倾斜角与斜率 3.1.1　倾斜角与斜率 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念． 2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性． 3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养． 2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养. 1．倾斜角的相关概念 (1)两个前提： ①直线l与x轴相交； ②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角； ③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (2)作用： ①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度； ②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 思考：下图中标的倾斜角α对不对？ [提示]　都不对． 2．斜率的概念及斜率公式 (1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值． (2)记法：k＝tan α． (3)斜率与倾斜角的对应关系． 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180° 斜率 (范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) (4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝． 思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ [提示]　不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°. 1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为(　　) A．45° B．135°　　　C．0°　　　D．无法计算 B　[根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.] 2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是(　　) A．0° B．45° C．60° D．90° A　[∵k＝＝0，∴θ ＝0°.] 3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　　) A．5 B．8　C． D．7 C　[由斜率公式可得.]＝1，解之得m＝ 4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　) A． C．1 D． B． A　[由题意可知，k＝tan 30°＝.] 直线的倾斜角 【例1】　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135° D　[根据题意，画出图形，如图所示： 因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.] 求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 故选D.] 直线的斜率 【例2】　(1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为(　　) A．(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8) C．(2，0) D．(0，－8) (2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．(－1，0] B．[0，1] C．[1，2] D．[0，2] (1)B　(2)D　[(1)设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝＝4，∴x＝2，y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8)．＝4或，∴或kAB＝ (2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.] 解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解． 2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135