2019-2020学年人教A版数学必修2（课件+教师用书+课时分层作业）第2章 点 线 平面之间的位置关系 (共29份打包)

2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1　平面 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点) 2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点) 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点) 1.通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学素养． 2．通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学素养. 1．平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的． 思考：一个平面能否把空间分成两部分？ [提示]　因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分． 2．平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②. ①　　　　　　　② 3．平面的表示法 上图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD． 4．平面的基本性质 公理 内容 图形 符号 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 公理2 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l 思考：经过空间任意三点能确定一个平面吗？ [提示]　不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面． 1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(　　) A．A∈l，lα B．A∈l，l⊄α C．A⊂l，l⊄α D．A⊂l，lα [答案]　B 2．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　) A．平面MN B．平面NQP C．平面α D．平面MNPQ A　[表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP，选A.] 3．任意三点可确定平面的个数是(　　) A．0 B．1 C．2　　　D．1或无数个 D　[当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面．] 立体几何三种语言的相互转化 【例1】　用符号表示下列语句，并画出图形． (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B； (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上． [解]　(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图． (2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，CAB，如图． 三种语言的转换方法： (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“∈”或“”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”． (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． 1．用符号语言表示下列语句，并画出图形： (1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC； (2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC. [解]　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图 ①. (2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图 ②. 点线共面问题 【例2】　如图，已知：a ⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α. [证明]　∵PQ∥a，∴PQ 与 a 确定一个平面β. ∴直线a⊂β，点 P∈β. ∵P∈b，b⊂α，∴P∈α. 又∵a⊂α，∴α与β重合．∴PQ⊂α. 解决点线共面问题的基本方法： 2．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内． [解]　已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C. 求证：直线AB，BC，AC共面． 证明：法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α. 因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC⊂α. 因此直线AB，BC，AC都在平面α内， 所以直线AB，BC，AC共面． 法二：因为A不在直线BC上， 所以点A和直线BC可确定一个平面α. 因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB⊂α.同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面． 法三：因为A，B，C三点不在