专题2.3 函数的奇偶性与周期性（讲）-2020年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

2020年高考数学一轮复习讲练测 第03讲 函数的奇偶性与周期性——讲 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义； 2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义. 知识点一：函数奇偶性的判断 奇偶性 定　义 图像特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 知识点二：函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式． 利用奇偶性关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数． 常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （4）抽象函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断． 知识点三：函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 考点一： 函数奇偶性的判断 【典例1】（2019·北京高考真题（文））设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的_______条件 【变式1】（2015·福建高考真题（理））下列函数为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【思想方法】 1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法： (2)图像法： 2.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性． 【温馨提醒】定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件 考点二：函数奇偶性的应用 角度一：奇偶性的应用 【典例1】（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)= ，则当x<0时，f(x)=____. 【变式1】（2014·辽宁高考真题（文））已知 为偶函数，当 时， ，则不等式 的解集为_______. 角度二：单调性与奇偶性结合 【典例2】（2017·全国高考真题（理））函数 在 单调递增，且为奇函数，若 ，则满足 的 的取值范围是________． 【变式2】（2017·天津高考真题（文））已知奇函数 在 上是增函数，若 ， ， ，则 的大小关系为______. 角度三：周期性与奇偶性结合 【典例3】（2018·全国高考真题（理））已知是定义域为的奇函数,满足.若，则_______. 【变式3】已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围是________． 角度四：单调性、奇偶性与周期性结合 【典例4】已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是________． [通法在握] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． (3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． 【思想方法】 ①若函数f(x)为偶函数，则函数在y轴两侧单调性相反；若函数f(x)为奇函数，则函数在原点两侧的单调性相同． ②利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径． 【温馨提醒】奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性． 考点三：函数的周期性 【典例3】（2012·山东高考真题（理））定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，当 时， ，则 _______. 【变式3】（2009·山东高考真题（理））定义在R上的函数f(x)满足，则f（2009）的值为_____. [由题悟法] 1．判断函数周期性的2个方法 (1)定义法． (2)图象法