第02章 第10节 第三课时 导数的综合应用(课时作业)-2020版高考理科数学【优化探究】一轮复习(基础版)

课时作业 A组——基础保分练 1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数ƒ(x)＝aex－ln x－1. (1)设x＝2是ƒ(x)的极值点，求a，并求ƒ(x)的单调区间； (2)证明：当a≥时，ƒ(x)≥0. 解析：(1)ƒ(x)的定义域为(0，＋∞)，ƒ′(x)＝aex－. .由题设知，ƒ′(2)＝0，所以a＝ 从而ƒ(x)＝. ex－ex－ln x－1，ƒ′(x)＝ 当0＜x＜2时，ƒ′(x)＜0；当x＞2时，ƒ′(x)＞0. 所以ƒ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a≥－ln x－1. 时，ƒ(x)≥ 设g(x)＝.[来源:学科网ZXXK]－－ln x－1，则g′(x)＝ 当0＜x＜1时，g′(x)＜0；当x＞1时，g′(x)＞0. 所以x＝1是g(x)的最小值点． 故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0. 因此，当a≥时，ƒ(x)≥0. 2．(2019·衡水模拟)已知a为实数，函数f(x)＝aln x＋x2－4x. (1)是否存在实数a，使得f(x)在x＝1处取得极值？证明你的结论； (2)设g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈[，e]，使得f(x0)≤g(x0)成立，求实数a的取值范围． 解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝. ＋2x－4＝ 假设存在实数a，使f(x)在x＝1处取极值，则f′(1)＝0，所以a＝2，此时，f′(x)＝，当x>0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以x＝1不是f(x)的极值点． 故不存在实数a，使得f(x)在x＝1处取得极值． (2)由f(x0)≤g(x0)，得(x0－ln x0)a≥x－2x0， 记F(x)＝x－ln x(x>0)，所以F′(x)＝(x>0)， 所以当0<x<1时，F′(x)<0，F(x)单调递减； 当x>1时，F′(x)>0，F(x)单调递增． 所以F(x)≥F(1)＝1>0， 所以a≥，e]， ，x∈[，记G(x)＝ 所以G′(x)＝. ＝ 因为x∈[，e]，所以2－2ln x＝2(1－ln x)≥0， 所以x－2ln x＋2>0， 所以x∈(，1)时，G′(x)<0，G(x)单调递减； x∈(1，e)时，G′(x)>0，G(x)单调递增， 所以G(x)min＝G(1)＝－1，所以a≥G(x)min＝－1. 故实数a的取值范围为[－1，＋∞)． B组——能力提分练 1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知函数ƒ(x)＝x3－a(x2＋x＋1)． (1)若a＝3，求ƒ(x)的单调区间； (2)证明：ƒ(x)只有一个零点． 解析：(1)当a＝3时，ƒ(x)＝x3－3x2－3x－3，ƒ′(x)＝x2－6x－3. 令ƒ′(x)＝0，解得x＝3－2. 或x＝3＋2 当x∈(－∞，3－2，＋∞)时，ƒ′(x)＞0； )∪(3＋2 当x∈(3－2)时，ƒ′(x)＜0. ，3＋2 故ƒ(x)在(－∞，3－2)单调递减． ，3＋2，＋∞)单调递增，在(3－2)，(3＋2 (2)证明：因为x2＋x＋1＞0， 所以ƒ(x)＝0等价于－3a＝0. 设g(x)＝≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，[来源:学,科,网]－3a，则g′(x)＝ 所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增． 故g(x)至多有一个零点，从而ƒ(x)至多有一个零点． 又ƒ(3a－1)＝－6a2＋2a－＞0，故ƒ(x)有一个零点． ＜0，ƒ(3a＋1)＝2－＝－6 综上，ƒ(x)只有一个零点． 2．(2019·西安八校联考)已知函数f(x)＝x，g(x)＝λf(x)＋sin x(λ∈R)在区间[－1,1]上单调递减． (1)求λ的最大值； (2)若g(x)<t2＋λt＋1在[－1,1]上恒成立，求t的取值范围； (3)讨论关于x的方程＝x2－2ex＋m的解的个数． 解析：(1)∵f(x)＝x， ∴g(x)＝λf(x)＋sin x＝λx＋sin x， 又g(x)在[－1,1]上单调递减，[来源:Z§xx§k.Com] ∴g′(x)＝λ＋cos x≤0在[－1,1]上恒成立， ∴λ≤(－cos x)min＝－1. 故λ的最大值为－1. (2)在[－1,1]上，g(x)max＝g(－1)＝－λ－sin 1， ∴只需t2＋λt＋1>－λ－sin 1恒成立， 即(t＋1)λ＋t2＋sin 1＋1>0(λ≤－1)恒成立， 令h(λ)＝(t＋1)λ＋t2＋sin 1＋1(λ≤－1)，要使h(λ)>0恒成立，[来源:学#科#网] 则需 ∴ 又t2－t＋sin 1>0恒成立， ∴t≤－1，故t的取值范围为(－∞，－1]． (3)＝x2－2ex＋m， ＝ 令f1(x)＝，f2(x)＝x2－2ex＋m，[来源:学.科.网Z.X.X.K] ∵f1′(x)＝， ∴当x∈