2019-2020九年级数学培优讲义：旋转综合之角含半角模型

1 旋转综合之角含半角模型 初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助 线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中，旋转是最为常见、 也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容 的第三讲：旋转综合之角含半角模型，希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示，在等腰Rt ABC△ 中，点 D , E 在斜边上， 45DAE  ，将 ABD△ 旋转至 ACF△ ， 连接 EF ．则 ADE△ ≌ AFE△ ， 2 2 2DE BD CE  2、如图所示，在正方形 ABCD中，点 E , F 分别在边 BC ,CD上， 45EAF  ，将 ABE△ 旋 转至 ADG△ ，则 AEF△ ≌ AGF△ ， EF BE DF  角含半角模型的解题步骤 1、找旋转点（含半角的角的顶点），构造旋转； 2、证全等； 3、利用全等、相似得到边角的关系． 例 1 如图，已知等边 ABC△ 的边长为1， D 是 ABC△ 外一点且 120BDC  ，BD CD ， 60MDN  ．求 AMN△ 的周长． 2 解 延长 AC 到 E ，使CE BM ，连接 DE ． 易证 BMD△ ≌ (SAS).CED△ 所以 , . BDM CDE DM DE    可得 60 ,NDE NDM    所以 MDN△ ≌ (SAS).EDN△ 从而 ,MN EN CN CE CN BM     所以 AMN△ 周长为 2.AMNC AB AC  △ 例 2 如图，正方形 ABCD的边长为 a ， BM , DN 分别平分正方形的两个外角，且满足 45MAN  ，连接MC , NC , MN ． （1）填空：与 ABM△ 相似的三角形是_______，_______；（用含 a的代数式表示） （2）求 MCN 的度数； （3）猜想线段 BM , DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论． 3 解 （1） NDA△ ， 2a （2）由（1）可得