2019-2020九年级数学培优讲义：函数与直角三角形问题

1 函数与直角三角形 初三中考复习在即，函数与图形综合是中考数学中常见的综合问题，核心考察学生的数 形结合、分类讨论、运算处理等能力，是拉开分数的重要题型。本期专题就中考中函数与图 形综合的常见题型进行讲解，并对解题方法和步骤进行了总结，这部分是本期内容的第三讲： 函数与直角三角形，希望各位同学能从中收益。 函数与直角三角形 函数与直角三角形问题是代几综合问题中很常见也很重要的一类题，常常是一次函数、二次 函数与直角三角形等结合在一起考察，综合性强，难度大． 构造直角三角形 直角三角形问题中若没有指定直角，需要分类讨论，具体构造直角三角形的方法如下图： 1.过线段 AB 的端点 A 作直线 l AB ，则直线 l 上除 A 点外其余都可以与点 A , B 构成直角三 角形； 2.过线段 AB 的端点 B 作直线 l AB ，则直线 l 上除 B 点外其余都可以与点 A , B 构成直角三 角形； 3.以线段 AB 为直径作圆，则圆上除点 A , B 外其余点都可以与点 A , B 构成直角三角形． 更多详见构造直角三角形． 函数与直角三角形的应用 例 1 如图，已知抛物线   2 1 : 2 5C y a x   的顶点为 P ，与 x 轴相交于 A , B 两点（点 A 在 点 B 的左边），点 A 的横坐标是 1 ． （1）求 P 点坐标及 a 的值； 2 （2）如图 1，抛物线 2C 与抛物线 1C 关于 x 轴对称，将抛物线 2C 向左平移，平移后的抛物线 记 为 3C ， 3C 的 顶 点 为 M ， 当 点 P , M 关 于 点 A 成 中 心 对 称 时 ， 求 3C 的 解 析 式   2 y a x h k   ； （3）如图 2，点 Q 是 x 轴负半轴上一动点，将抛物线 1C 绕点 Q 旋转180 后得到抛物线 4C ．抛 物线 4C 的顶点为 N ，与 x 轴相交于 E , F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P , N , E 为顶 点的三角形是直角三角形时，求顶点 N 的坐标． 解 （1）  2, 5P  ， 5 9 a  ； （2） 2C ：   25 2 5 9 y x    ， 点 A 是 P