2019-2020九年级数学培优讲义：旋转综合之对角互补模型

1 旋转综合之对角互补模型 初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助 线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。在几何变换中，旋转是最为常见、 也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容 的第二讲：旋转综合之对角互补模型，希望各位同学能从中收益。 基本图形 1、如图所示，在等腰Rt ABC中，点O 为斜边 AB 的中点，点 E , F 分别是 AC , BC 上两点， 且 90EOF   ①若过点O分别作 AC , BC 的垂线段，垂足为M , N ，则 MOE△ ≌ NOF△ ②若连接OC ，则 EOC△ ≌ FOB△ ． 2、如图所示，点 D 为 ABC 的平分线 BD上一点，点 E , F 分别为 AOB 两边上的点，且 180ABC EDF   ．过点 D 分别作 AB , BC 的垂线段，垂足为 H ,G ，则 HDE△ ≌ GDF△ 对角互补模型的解题步骤 1、找旋转点（角平分线上的点），构造旋转； 2、证全等、相似； 3、利用全等、相似得到边、角的关系． 2 例 1 如图 1，将一个直角三角板的直角顶点 P 放在正方形 ABCD的对角线 BD上滑动，并使 其一条直角边始终经过点 A ，另一条直角边与 BC 相交于点 E ． （1）求证： PA PE （2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变，（如图 2），且 10AD  ， 8DC  ，求 :AP PE 的值； （3）在（2）的条件下，当 P 滑动到 BD的延长线上时，如图 3， :AP PE 的值是否发生变化? 无需证明． 解 （1）如图，过 P 作 PM AB 于点M ， PN BC 于点 N ． 则 , 90 , PM PN MPN APE      3 所以 .APM EPN  所以 APM△ ≌ .EPN△ 故 .AP PE （2）过 P 作 PM AB 于M ， PN BC 于 N 则 , .PM AD PN CD∥ ∥ 所以 , ,B