2019-2020学年人教版九年级上册思维特训(三)　换元法在解方程中“四两拨千斤”（PDF版）

新课标（RJ） 数学 九年级上册 思维特训(三) 换元法在解方程中“四两拨千斤” 方法点津 · 1．换元法是指在解决数学问题时，通过引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量 (或代数式)，对新的变量求出结果之后，返代回去求原变量的结果的方法． 2．解方程时，把方程中的某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，从而把复 杂方程化为简单方程，通过解简单方程，实现对方程的求解． 典题精练 · 类型一 用换元法解一元二次方程 1．下面是昊昊用换元法解方程 2(x＋1)2＋3(x＋1)(x－2)－2(x－2)2＝0 的解答过程，请 你判断是否正确．若有错误，请按这种思路求出正确答案． 解：设 x＋1＝m，x－2＝n，则原方程可化为 2m2＋3mn－2n2＝0，则 a＝2，b＝3n，c ＝－2n2， ∴m＝ 3n± 9n2－4×2（－2n2） 2 ＝ 3n±5n 2 ， 即 m1＝4n，m2＝－n， ∴x＋1＝4(x－2)或 x＋1＝－(x－2)， ∴x1＝3，x2＝ 1 2 . 类型二 用换元法解含有绝对值的一元二次方程 2．阅读下面的例题，解方程 x2－|x|－2＝0. 解：原方程化为|x|2－|x|－2＝0. 令 y＝|x|，则化成 y2－y－2＝0. 解得 y1＝2，y2＝－1. 当|x|＝2 时，x＝±2； 当|x|＝－1 时，不符合题意，舍去． ∴原方程的解是 x1＝2，x2＝－2. 请模仿上面的方法解方程： (1)x2－2|x|＝0； (2)(x－1)2－5|x－1|－6＝0； (3)x2－2x－4|x－1|＋5＝0. 类型三 用换元法解一元高次方程 3．阅读下面的例题： 解方程：x4－7x2＋12＝0. 新课标（RJ） 数学 九年级上册 解：设 x2＝y，则 x4＝y2， ∴原方程可化为 y2－7y＋12＝0，① 解得 y1＝3，y2＝4. 当 y＝3 时，x2＝3，x＝± 3； 当 y＝4 时，x2＝4，x＝±2. ∴原方程有四个根：x1＝ 3