专题19 利用函数模型解决实际问题-备战2020年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展【学科网名师堂】

专题19 利用函数模型解决实际问题 【热点聚焦与扩展】 在近几年的高考试卷中，以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．注重在知识的交汇点命题，与三角函数、解三角形、不等式、导数、解析几何、概率统计、数列等相结合，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力. 1、使用函数模型解决实际问题 （1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变量进行表示）.以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再根据导数，均值不等式等工具求出最值 （2）需用到的数学工具与知识点： ① 分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的关系，在题目中若有多种情况，且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示. ② 导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用导数分析其单调性，进而求得最值 ③ 均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或积为定值）可通过均值不等式迅速的找到最值. ④ 分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形，并利用换元将其转化为熟悉的函数求解 （3）常见的数量关系： ① 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如： 平行四边形面积底高 梯形面积（上底下底）高 三角形面积底高 ② 商业问题： 总价单价数量 利润营业额成本货物单价数量成本 ③ 利息问题： 利息本金利率 本息总和本金利息本金利率本金 （4）在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时，变量应取正整数.涉及到钱，速度等问题，变量的取值应该为正数. 2、使用线性规划模型解决实际问题 （1）题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题 （2）与函数模型的不同之处 ① 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围（或最值） ② 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值. （3）解题步骤：根据题目叙述确定未知变量（通常选择两个核心变量，其余变量用这两个进行表示），并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决 （4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点，代入到目标函数中并比较大小 3、使用三角函数模型解决实际问题 （1）题目特点：题目以几何图形（主要是三角形）作为基础，条件多与边角相关 （2）需要用到的数学工具与知识点： ① 正弦定理：设三边所对的角分别为，则有 ② 余弦定理（以和对角为例）， ③ 三角函数表达式的化简与变形 ④ 函数的值域 （3）解题技巧与注意事项： ① 在求边角问题时，应把所求的边或角放在合适的三角形中 ② 在直角三角形里，已知一条边，则其它边可用该边与内角的三角函数值进行表示 ③ 在图形中要注意变量的取值范围 【经典例题】 例1．（2019年高考北京文理）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 例2．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形 的中心为 ． 、 、 为圆 上的点， ， ， 分别是以 ， ， 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 ， ， 为折痕折起 ， ， ，使得 、 、 重合，得到三棱锥.当 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位： )的最大值为_______． 例3．（2018上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当 中 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 （单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下问题： (1)当 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族 的人均