专题20 三角恒等变换与求值-备战2020年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展【学科网名师堂】

第三篇 三角函数与解三角形 专题20 三角恒等变换与求值 【热点聚焦与扩展】 高考对于三角恒等变换的考查，主要以公式的基本运用、计算为主，在三角函数考题中，经常要求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查,主要是小题为主,试题难度不大．往往从两个方面考查：（1）同角的三个函数值中知一求二；（2）能灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系．本专题重点举例讲解求未知角的三角函数值问题的解法. 1、与三角函数计算相关的公式： （1）同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)． ②商数关系：tan α＝. （2）六组诱导公式 　角 函数　 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α 对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” （3）两角和差的正余弦，正切公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ （4）倍半角公式： ① ② ③ （3）辅助角公式：，其中 2、求未知角的三角函数值问题的解法步骤： （1）考虑用已知角表示未知角，如需要可利用常用角进行搭配 （2）等号两边同取所求三角函数，并用三角函数和差公式展开 （3）利用已知角所在象限和三角函数值求出此角的其他函数值 （4）将结果整体代入到运算式即可 3、确定所涉及角的范围：当已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，角的范围将决定其他三角函数值的正负，所以要先判断角的范围，再进行三角函数值的求解.确定角的范围有以下几个层次： （1）通过不等式的性质解出该角的范围（例如： ，则） （2）通过该角的三角函数值的符号，确定其所在象限. （3）利用特殊角将该角圈在一个区间内（区间长度通常为） （4）通过题目中隐含条件判断角的范围.例如：，可判断出在第一象限. 【经典例题】 例1．（2019年高考全国Ⅱ卷文理）已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ） A． B． C． D． 例2.（2018届云南省曲靖市第一中学高三4月高考监测（七））已知，若，且是锐角，则的值等于（ ） A. B. C. D. 例3.（2018届湖南省株洲市高三统一检测（二））设向量，若,则( ) A. B. C. -1 D. -3 例4.（2019年高考江苏卷）已知，则的值是 . 例5.（2018年全国卷II文）已知，则__________． 例6．（2018届江西省南昌市高三第一轮）已知， . （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. 例7.（2019·浙江高考模拟）如图，在单位圆上，(AOB＝(()，( BOC＝ ，且△AOC的面积等于． （ I）求 sin( 的值； （ II）求 2cos()sin) 例8．（2018·江苏高考真题）已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值． 例9．（2018届全国名校大联考高三第二次联考）已知向量， ，其中，且. （1）求和的值； （2）若，且，求角. 例10.在中， ， ．　 （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）设（， ），求的取值范围． 【精选精练】 1.（重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 2．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断）已知，，则（ ） A． B．7 C． D． 3.（2019·河南高考模拟（理））已知，则（ ） A． B． C． D． 4.（2018届新疆乌鲁木齐市高三第三次诊断）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.（2019·江西高考模拟（文））如图，点A为单位圆上一点， 点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B(-，)则cos=( )