2019-2020学年新培优同步人教A版数学选修4-1（课件+课时过关能力提升+本讲整合+检测）第2讲 直线与圆的位置关系 (共12份打包)

一　圆周角定理 课时过关·能力提升 基础巩固 1下列结论错误的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.圆上一条弧所对的圆周角等于它对的圆心角的一半 B.圆心角的度数等于它所对弧的度数 C.相等的圆周角所对的弧相等 D.90°的圆周角所对的弦是直径 解析选项A是圆周角定理;选项B是圆心角定理;选项D是圆周角定理的推论2;选项C中,缺少前提条件“在同圆或等圆中”,故选C. 答案C 2如图,CD是☉O的直径,A,B是☉O上的两点,若∠ABD=20°,则∠ADC的度数为(　　) A.40° B.50° C.60° D.70° 解析∵∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=20°. 又CD是☉O的直径,∴∠CAD=90°. ∴∠ADC=90°-∠ACD=90°-20°=70°. 答案D 3如图,已知AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到点C,使AC=AB,则(　　) A.CD>DB B.CD=DB C.CD<DB D.CD与DB的大小关系不确定 解析如图,连接AD. ∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°,即AD⊥BC. 又AC=AB, ∴BD=CD. 答案B 4如图,已知△ABC内接于☉O,∠BAC=50°,∠ABC=60°,BD为☉O的直径,BD交AC于点E,则∠AEB=(　　) A.70° B.110° C.90° D.120° 解析∵∠BAC=50°,∠ABC=60°, ∴∠ACB=180°-(∠BAC+∠ABC)=70°. 连接CD,则∠BDC=∠BAC=50°,∠BCD=90°, ∴∠ACD=90°-∠ACB=20°. ∴∠AEB=∠CED=180°-(∠BDC+∠ACD)=180°-(50°+20°)=110°. 答案B 5如图,已知弦AC与BD相交于圆内一点P,且AB=10,CD=5,BP=8,则PC=　　　　　.  解析∵∠A=∠D,∠C=∠B, ∴△ABP∽△DCP. ∴.∴,解得PC=4. 答案4 6如图,AC是☉O的直径,B是圆上一点,∠ABC的平分线与☉O相交于点D,已知BC=1,AB=,则AD=　　　　　.  解析如图,连接OD,由于AC是☉O的直径, 则∠ABC=90°. 又BC=1,AB=, 则AC= ==2, 所以OA=OD=AC=1. 又∠AOD=2∠ABD=∠ABC=90°, 故△AOD是等腰直角三角形, 则AD=OA=×1=. 答案 7如图,已知点A,B,C是圆O上的点,且∠ACB=30°,则∠AOB等于　　　　　　.  解析∵∠ACB=30°, ∴∠AOB=2∠ACB=60°. 答案60° 8如图,已知圆O的半径为3,∠BAC=30°,则弦BC=　　　　　.  解析连接OB,OC. ∵∠BAC=30°,∴∠BOC=2∠BAC=60°. ∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形. ∴BC=OB=OC=3. 答案3 9已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径,AD的延长线交外接圆于点F.求证:. 分析转化为证明∠BAE=∠FAC,再转化为证明△ABE∽△ADC. 证明∵AE是直径,∴∠ABE=90°. 又∠ADC=90°,∴∠ADC=∠ABE. 又∠AEB=∠DCA, ∴△ABE∽△ADC. ∴∠BAE=∠FAC,∴. 10如图,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明:△ABE∽△ADC; (2)若△ABC的面积S=AD·AE,求∠BAC的大小. 分析(1)证明两个三角形的两个角对应相等;(2)利用(1)的结论和三角形面积公式,转化为求sin∠BAC. (1)证明∵AD平分∠BAC, ∴∠BAE=∠CAD. 又∠AEB与∠ACB是同弧所对的圆周角, ∴∠AEB=∠ACD.∴△ABE∽△ADC. (2)解∵△ABE∽△ADC,∴, 即AB·AC=AD·AE. 又S=AB·ACsin∠BAC,且S=AD·AE, ∴AB·ACsin∠BAC=AD·AE. ∴sin∠BAC=1. 又∠BAC为三角形的内角,∴∠BAC=90°. 能力提升 1如图,在☉O中,若∠AOB=160°,则∠D+∠E=(　　) A.170° B.160° C.100° D.80° 解析如图,连接CO, 则有∠AOC+∠BOC=360°-∠AOB=360°-160°=200°. 又∠ADC=∠AOC,∠BEC=∠BOC, ∴∠ADC+∠BEC =(∠AOC+∠BOC)=100°, 即∠D+∠E=100°. 答案C 2如图,已知△ABC内接于☉O,AB=AC,D为BC上一点,E是直线AD和☉O的交点,则AB2等于(　　) A.AC·BC B.AD·AE C.AD·DE D.BD·DC 解析如图,连接BE. ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ACB=∠AEB, ∴∠ABC=∠AEB.