专题09 直线与圆的方程-备战2020年高考数学（文）之纠错笔记系列

专题09 直线与圆的方程 易错点1 忽略90°倾斜角的特殊情形 求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围． 【错解】由斜率公式可得直线AB的斜率k==. ①当m>1时，k=>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°； ②当m<1时，k=<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 【错因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题． 本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m=1，m>1，m<1三种情况进行讨论． 【试题解析】当m=1时，直线斜率不存在，此时直线倾斜角α=90°. 当m≠1时，由斜率公式可得k==. ①当m>1时，k=>0，所以直线倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m<1时，k=<0，所以直线倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 【参考答案】见试题解析. 1．由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围时要利用正切函数y=tan x的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制. 2．求解直线的倾斜角与斜率问题时要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y=tan x的单调性求斜率k的范围． 3．直线的倾斜角与斜率的关系 （1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．比如直线的倾斜角为，但斜率不存在． （2）直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系： α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 1．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率，则，所以直线的倾斜角.故选B. 易错点2 忽略斜率不存在的特殊情形 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a−2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(−1，a−2)，若l1⊥l2，求a的值． 【错解】由l1⊥l2⇔，又k1=，k2=，所以·=−1，解得a=0. 【错因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑． 【试题解析】由题意知l2的斜率一定存在，则l2的斜率可能为0，下面对a进行讨论． 当时，a=5，此时k1不存在，所以两直线垂直． 当时，由，得a=0. 所以a的值为0或5. 【参考答案】0或5 1．直线的斜率是否存在是解直线问题首先要考虑的问题，以防漏解． 2．斜率公式 （1）若直线l的倾斜角90°，则斜率． （2）若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k=． 3．求直线方程的方法 （1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中的系数，写出直线方程； （2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程． 4．求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0，且A≥0. 5．已知三点若直线的斜率相同，则三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数. 2．设直线的方程为，根据下列条件分别求的值． （1）在轴上的截距为1； （2）斜率为1； （3）经过定点． 【答案】（1）1；（2）；（3）或. 【解析】(1)∵直线过点P′(1,0)， ∴m2－2m－3＝2m－6.解得m＝3或m＝1. 又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意， ∴m＝1. (2)由斜率为1，得 解得m＝. (3)直线过定点P(－1，－1)， 则－ (m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6， 解得m＝或m＝－2. 当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误． 易错点3 忽视两条直线平行的条件 当a为何值时，直线：y=−x＋2a与直线：平行？ 【错解】由题意，得=−1，∴a=±1. 【错因分析】该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合． 【试题解析】∵，∴=−1且2a≠2，解得a=−1. 【方法点睛】要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合． 【参考答案】a=−1. 1．两直线的位置关系问题中注意重合与平行的区别． 2．由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”. “前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解. 3．两条直线的位置关系 斜截式 一般式