专题15 利用导数证明多元不等式-备战2020年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展【学科网名师堂】

专题15 利用导数证明多元不等式 【热点聚焦与扩展】 利用函数性质、导数证明不等式，是导数综合题常涉及的问题，多元不等式的证明则是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何构造、转化合适的一元函数，本专题拟通过一些典型模拟习题为例介绍常用的处理方法. 1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作： （1）利用条件粗略确定变量的取值范围 （2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用 2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序 3、证明多元不等式通常的方法有两个 （1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 （2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式 （3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法. 【经典例题】 例1.（2019·天津高考真题（文））设函数，其中. （Ⅰ）若，讨论的单调性； （Ⅱ）若， （i）证明恰有两个零点 （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明. 例2.（2018届四川省蓉城名校高中高三4月联考）已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）若有两个零点，求实数的范围； （3）已知函数与函数的图象关于原点对称，如果，且，证明： . 例3.（2018·全国高考真题（理））已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 例4.（2019·四川高考模拟（理））已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点，求证：． 例5.（2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模）已知函数． （1）求在上的最小值； （2）若，当有两个极值点时，总有，求此时实数的值． 例6.（2019·河南高考模拟（理））已知，函数 （Ⅰ）若函数在上为减函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）设正实数，求证：对上的任意两个实数，，总有成立 例7.（2019·天津高考真题（理））设函数为的导函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明. 例8.（2018届河南省商丘市高三二模）已知函数. （1）如图，设直线将坐标平面分成四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围； （2）当时，求证：且，有. 例9．（2019·黑龙江哈尔滨三中高考模拟（理））已知函数，其中. （1）设是函数的极值点，讨论函数的单调性； （2）若有两个不同的零点和，且， （i）求参数的取值范围； （ii）求证：. 例10．（2019·甘肃高考模拟（理））已知函数，是函数的两个极值点. （1）求的取值范围. （2）证明：. 【精选精练】 1．（2019·山西高三月考（文））已知，函数. （1）证明：有两个极值点； （2）若是函数的两个极值点，证明：. 2．（2019·山西高考模拟（理））已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）当，时，若对于任意，都存在，使得，证明：. 3．（2019·云南师大附中高三月考（文））已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，，证明：. 4．（2019·安徽高考模拟（理））已知函数， （1）若函数有个零点，求的取值范围； （2）若有两个极值点，且，求证： 5．（2019·成都市七中育才学校高考模拟（文））已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，，且存在不相等的实数，，使得，求证：且. 6．（2019·湖南师大附中高考模拟（理））已知函数. （1）讨论函数f（x）的极值点的个数； （2）若f（x）有两个极值点，，证明：. 7．（2019·桃江县第一中学高考模拟（理））已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求函数的解析式，并证明：. （2）已知，且函数与函数的图象交于，两点，且线段的中点为，证明：. 8.（2019·天津耀华中学高考模拟（理））已知函数 (Ⅰ)求函数的图像在点处的切线方程. (Ⅱ)若且对任意恒成立，求的最大值； (Ⅲ)当时，证明： 9.（2018届辽宁省大连市高三一模）已知函数，. 若恒成立，求的取值范围； 已知，是函数的两个零点，且，求证：. 10.（2018届河北省石家庄市高三一模）已知函数， ，在处的切线方程为. （1）求， ； （2）若方程有两个实数根， ，且，证明： . 11.（2018届陕西省咸阳市二模）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2） 若函数有两个零点， ，且，证明： . 12．（2018届四川省攀枝花市4月统考】已知函数， . (I)若函数在区间上均单调且单调性相反,求实数的取值范围； (Ⅱ)若,证明: 学科网名师