专题16 恒成立问题——参变分离法-备战2020年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展【学科网名师堂】

专题16 恒成立问题——参变分离法 【热点聚焦与扩展】 无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.利用导数求解含参数的问题时，首先，要具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等);其次，要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等. 1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数. 3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目） 4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式） （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 ③，则只需要 ，则只需要 ④，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理 （1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了. （2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可. 【经典例题】 例1．（2019·天津高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例2.（2018届河北省邯郸市高三1月）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例3.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________ 例4．（2019·山西太原五中高考模拟（文））已知函数. （1）当时，设函数，求函数的单调区间和极值； （2）设是的导函数，若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若，，求证：． 例5．（2019·江苏金陵中学高考模拟）已知函数f（x）＝ax2﹣bx+lnx，（a，b∈R）． （1）若a＝1，b＝3，求函数f（x）的单调增区间； （2）若b＝0时，不等式f（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围； （3）当a＝1，b＞时，记函数f（x）的导函数f（x）的两个零点是x1和x2（x1＜x2），求证：f（x1）﹣f（x2）＞﹣3ln2． 例6.（2019·天津耀华中学高考模拟（文））已知函数. （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）若，且对任意恒成立，求的最大值； （Ⅲ）当时，证明：. 例7．（2019·贵州高考模拟（理））已知函数，为的导函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若，使成立，求实数的最小值. 例8．（2019·贵州高考模拟（理））已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若曲线的一条切线方程为， （i）求的值； （ii）若时， 恒成立，求实数的取值范围. 例9.（2018届山西省孝义市高三一模）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，曲线总在曲线的下方，求实数的取值范围. 例10.（2018届广东省肇庆市高三三模）已知函数，，. （Ⅰ）讨论的单调区间； （Ⅱ）若 ,且恒成立. 求的最大值. 【精选精练】 1．（2018年【衡水金卷】（三））已知函数的导函数为，且满足， ，若函数恒成立，则实数的取值范