专题18 恒成立问题——最值分析法-备战2020年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展【学科网名师堂】

专题18 恒成立问题——最值分析法 【热点聚焦与扩展】 不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 最值法：讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法. 1、最值法的特点： （1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参 （2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论 2、理论基础：设的定义域为 （1）若，均有（其中为常数），则 （2）若，均有（其中为常数），则 3、技巧与方法： （1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作： ① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围： 通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析） 观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围 （2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号. （3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内. 【经典例题】 例1．（2019·全国高考真题（文））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 例2．（2019·湖北高三月考（文））已知函数f（x）=ex+1-alnax+a（a＞0）． （1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围． 例3.（2019·湖北高考模拟（文））已知函数 （1）若直线为的切线，求的值． （2）若，恒成立，求的取值范围． 例4.（2019·安徽高考模拟（理））已知函数（为自然对数的底数） （Ⅰ）试讨论函数的导函数的极值； （Ⅱ）若（为自然对数的底数），恒成立，求实数的取值范围. 例5．已知函数，曲线在点处的切线方程为.其中为自然对数的底数 （1）求的值 （2）如果当时，恒成立，求实数的取值范围 例6．设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线. （1）求函数，的解析式； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 例7.（浙江高考题）设函数 （1）若为的极值点，求实数 （2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立.注：为自然对数的底数 例8.（2018届湖南省永州市三模）已知, . （1）若对任意的实数，恒有，求实数的取值范围； （2）当时，求证：方程恒有两解. 例9.（2018届内蒙古鄂伦春自治旗二模（420模拟））已知函数的图象在与轴的交点处的切线方程为. （1）求的解析式； （2）若对恒成立，求的取值范围. 例10.（2018届湖南省益阳市高三4月调研）已知函数（，为自然对数的底数）. （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，恒成立，求实数的最小值. 【精选精练】 1．（2019·广东高考模拟（文））已知函数，对任意，，都有，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2019·湖南高三期末（理））函数（e为自然对数的底数），若任意，都有，则实数的最大值是（ ） A． B． C．2 D． 3．（2018届贵阳第一中学高考适应性月考卷（七））已知定义在上的函数，，其中为偶函数，当时，恒成立；且满足：①对，都有；②当时，.若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4．（2018年高考原创押题预测卷01）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则的值为（ ） A. B. C. D. 5．（2018届四川联合三诊）已知定义在上的偶函数在上单调递减，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范是（ ） A. B. C. D. 6.（2018年4月浙江省金华十校高考模拟）若对任意的，存在实数，使 恒成立，则实数的最大值为__________． 7.已知函数，. （1）当时，若关于