2.3 函数的单调性(一)（讲解课件）-2019-2020学年高中数学必修一【优化探究】同步导学案（北师大版）

§3　函数的单调性(一) 内　容　标　准 学　科　素　养 1.理解函数单调区间、单调性等概念． 2.会划分函数的单调区间，判断单调性． 3.会用定义证明函数的单调性. 精确数学概念 提高逻辑推理 增强直观想象 授课提示：对应学生用书第25页 [基础认识] 知识点一　增函数和减函数 如图，观察函数y＝x2的图像，回答下列问题： (1)当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而发生什么变化？[来源:学科网ZXXK] 提示：增大． (2)如果在y轴右侧部分任取两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1＜x2时，y1，y2的大小关系如何？是不是在定义域内任取两个点都有这个规律呢？ 提示：y1＜y2.并非在定义域内任取两个点都有这个规律．如－4＜1，但(－4)2＞12. (3)如何用数学符号语言来描述y轴右侧的图像变化规律？ 提示：在区间(0，＋∞)上，任取两个x1，x2，得到f(x1)＝x，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)．，f(x2)＝x 　　　 　知识梳理　增函数和减函数 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．区间D称为函数f(x)的单调递增区间 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．区间D称为函数f(x)的单调递减区间 图像特征 函数f(x)在区间D上的图像是上升的 函数f(x)在区间D上的图像是下降的 图示 知识点二　函数的单调区间与单调性 (1)若函数f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么f(x)的减区间能写成D1∪D2吗？ 提示：单调区间不能取并集，如y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝ (2)任何函数在定义域上都具有单调性吗？ 提示：函数的单调性是指函数在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势，是递增或递减的一种定性描述，它是函数的局部性质．有的函数不具有单调性，例如：函数y＝再如：函数y＝x＋1(x∈Z)，它的定义域不能用区间表示，也不能说它在定义域上具有单调性． 　知识梳理　函数的单调区间与单调性 (1)如果y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间． (2)定义：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或减少的，那么就称y＝f(x)在这个子集上具有单调性． 如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或减少的，分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数． 思考：1.把增(减)函数定义中的“任意两个自变量x1，x2”换成“存在两个自变量x1，x2”还能判断函数是增(减)函数吗？ 提示：不能．如在函数y＝x2中－3＜2，且f(－3)＞f(2)，但y＝x2在[－3,2]上不是减函数． 2．把增(减)函数定义中的“某个区间D”去掉，其余条件不变，能否判断函数的增减性？ 提示：不能．如y＝不是增函数．，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x1∈(－∞，0)，x2∈(0，＋∞)时，尽管x1＜x2，f(x1)＜f(x2)，但y＝ [自我检测] 1．下列说法正确的是(　　) A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数 B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数 C．若f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数 D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1＜x2 解析：A，B项都忽略了x1，x2的任意性；C项中f(x)在I1∪I2上不一定为增函数；对于D项，由增函数的定义可知其正确． 答案：D 2．设f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则有(　　) A．a≥ D．a＜ C．a＞－ B．a≤ 解析：∵f(x)在R上是减函数，故2a－1＜0，即a＜. 答案：D 3．函数y＝|x|的增区间是________，减区间是________． 解析：函数y＝|x|的图像如图所示： 由图可知，该函数的增区间为[0，＋∞)，减区间为(－∞，0)． 答案：[0，＋∞)　(－∞，0) 授课提示：对应学生用书第26页 探究一　利用图像确定函数单调区间 [例1]　求下列函数的单调区间并指出其在单调区间上是增函数还是减函数． (1)y＝3x－2；(2)y＝－；(3)y＝－x2＋2x＋3. [思路点拨]