专题08 函数零点问题面面观-备战2020年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展【学科网名师堂】

专题08 函数零点问题面面观 【热点聚焦与扩展】 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根分布问题；（3）判断根的个数问题；（4）根据方程解的情况确定求参数的值或范围.上述情形除（1）简单，其它往往与分段函数结合或与导数的应用结合，难度往往较大. 一、基础知识： 1、零点的定义：一般地，对于函数，我们把方程的实数根称为函数的零点 2、函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. （1）在上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设连续） ① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若，那么在不一定有零点 ③ 若在有零点，则不一定必须异号 3、若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一. 4、函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系 （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点. （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫. （3）图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间. 三者转化：函数的零点方程的根方程的根函数与的交点. 二、零点存在与判断方法、技巧： 1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内.例如：对于方程，无法直接求出根，构造函数，由即可判定其零点必在中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理 作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内. 缺点：方法单一，只能判定零点存在而无法判断个数，且能否得到结论与代入的特殊值有关 （2）方程的根： 工具：方程的等价变形 作用：当所给函数不易于分析性质和图象时，可将函数转化为方程，从而利用等式的性质可对方程进行变形，构造出便于分析的函数 缺点：能够直接求解的方程种类较少，很多转化后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数 （3）两函数的交点： 工具：数形结合 作用：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现.通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围. 缺点：数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含的函数可作出图象，那么因为另外一个只含参数的图象为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡.（作3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个.因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调. 4、几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点.要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点.如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响.如果单调，则一定小于0 5、零点与单调性配合可确定函数的符号：是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，. 三、函数零点的性质及应用 1、此类问题的处理步骤： （1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图象 （2）确定变量范围：通过图象与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 2.常见处理方法： （1）代换法：将相等的函数值设为，从而用可表示出，将关于的表达式转化为关于的一元表达式，进而可求出范围或最值 （2）利用对称性解决对称点求和：如果关于轴对称，则；同理，若关于中心对称，则也有.将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系 【经典例题】 例1．（2018·全国高考真题（理））已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 例2.设函数，若实数分别是的零点，则（ ） A. B. C.