专题13 利用导数证明数列不等式-备战2020年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展【学科网名师堂】

专题13 利用导数证明数列不等式 【热点聚焦与扩展】 利用导数证明数列不等式，在高考题中能较好的考查学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数、导数、数列、不等式结合在一起，也是近年来高考的热门题型. 1、常见类型： （1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题 （2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题 2、恒成立不等式的来源： （1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式. （2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向.其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式. 3、常见恒成立不等式： （1） 对数→多项式 （2） 指数→多项式 4、关于前项和的放缩问题：求数列前项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种： （1）倒序相加：通项公式具备第项与第项的和为常数的特点. （2）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式（例如，求和可用错位相减）. （3）等比数列求和公式 （4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消. 注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑. 5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式. 6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向. 7、放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）. 8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系）. 【经典例题】 例1．（2019·江西高考模拟（文））已知函数 （1）若对于任意的x恒成立，求a的取值范围 （2）证明：对任意的恒成立 例2. （2019·黑龙江大庆一中高考模拟（理））已知函数  （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）设，证明：. 例3. （2019·重庆一中高三月考（文））设函数，对于，都有成立. （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）证明：（其中是自然对数的底数）. 例4. （2019·江苏高考模拟）已知数列满足（），（）． （1）若，证明：是等比数列； （2）若存在，使得，，成等差数列． ① 求数列的通项公式； ② 证明：． 例5.已知函数 （1）当时，求函数的单调区间 （2）当时，函数图像上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围 （3）求证：（其中是自然对数的底数） 例6.（2017北京，理19）已知函数 （1）若在定义域内为减函数，求的范围 （2）若满足，试证明：时， 例7. （2019·广西高考模拟（理））已知函数. (1) 若时,函数取得极值,求函数的单调区间； (2) 证明：. 例8. （2019·辽宁高考模拟（理））已知函数，. （Ⅰ）求证：曲线与在处的切线重合； （Ⅱ）若对任意恒成立. （1）求实数的取值范围； （2）求证：（其中）. 【精选精练】 1. （2019·湖南高考模拟（理））设函数，. （1）证明：. （2）若恒成立，求的取值范围； （3）证明：当时，. 2．（2019·重庆南开中学高考模拟（理））已知函数是减函数. （1）试确定a的值； （2）已知数列，求证：. 3．（2019·河北省衡水市第十三中学高考模拟（文））已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：. 4．（2019·湖南长郡中学高考模拟（文））设函数. (1)求函数的极值点个数； (2)若，证明. 5．（2019·湖北高考模拟（文））已知函数， 求函数图象上一点处的切线方程． 若方程在内有两个不等实根，求实数a的取值范围为自然对数的底数． 求证，且 6．（2019·湖北高考模拟（理））设函数． 求的单调区间； 当时，若对任意的，都有，求实数的取值范围； 证明不等式. 7．（2019·天津高三期末（文））已知函数，其中． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）当a=1时，证明：； （Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数） 8.设函数，其中 （1）当时，讨论函数在其定义域上的单调性； （2）证明：对任意的正整数，不等式都成立. 9．已知数列， 满足， ，且， . （1）求及； （2）猜想， 的通项公式，并证明你的结论； （3）证明：对所有的， . 10．（2018届东北四市一模