专题14 利用导数证明一元不等式-备战2020年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展【学科网名师堂】

专题14 利用导数证明一元不等式 【热点聚焦与扩展】 利用函数性质与最值证明一元不等式，是导数综合题常涉及的一类问题，考查学生构造函数、选择函数的能力，体现了函数最值的一个作用——每一个函数的最值带来一个恒成立的不等式.此外所证明的不等式也有可能对后一问的解决提供帮助，处于承上启下的位置. 1、证明方法的理论基础 （1）若要证(为常数）恒成立，则只需证明：，进而将不等式的证明转化为求函数的最值 （2）已知的公共定义域为，若，则 证明：对任意的，有 由不等式的传递性可得：，即 2、证明一元不等式主要的方法有两个： 第一个方法是将含的项或所有项均挪至不等号的一侧，将一侧的解析式构造为函数，通过分析函数的单调性得到最值，从而进行证明，其优点在于目的明确，构造方法简单，但对于移项后较复杂的解析式则很难分析出单调性 第二个方法是利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，转化成为的形式，若能证明，即可得：，本方法的优点在于对的项进行分割变形，可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强，如果与不满足，则无法证明.所以用此类方法解题的情况不多，但是在第一个方法失效的时候可以考虑尝试此法. 3、在构造函数时把握一个原则：以能够分析导函数的符号为准则. 4、若在证明中，解析式可分解为几个因式的乘积，则可对每个因式的符号进行讨论，进而简化所构造函数的复杂度. 5、合理的利用换元简化所分析的解析式. 6、判断解析式符号的方法： （1）对解析式进行因式分解，将复杂的式子拆分为一个个简单的式子，判断出每个式子的符号即可得到解析式的符号 （2）将解析式视为一个函数，利用其零点（可猜出）与单调性（利用导数）可判断其符号 （3）将解析式中的项合理分组，达到分成若干正项的和或者若干负项的和的结果，进而判断出解析式符号 【经典例题】 例1.（2018年新课标I卷文）已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 例2.（2019·安徽省定远中学高考模拟（文））已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）证明：当时，. 例3.（2019·辽宁高考模拟（理））已知函数 ，（为自然对数的底数） （I）若在上单调递减，求的最大值； （Ⅱ）当时，证明：. 例4.（2019·北京高考真题（文））已知函数. （Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：； （Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值． 例5.（2019·辽宁高考模拟（理））已知函数. (1)讨论的单调性； (2)令，当，时，证明：. 例6.（2019·湖北荆州中学高三期末（理））已知，设，，且，记. （Ⅰ）设，其中，试求的单调区间； （Ⅱ）试判断弦的斜率与的大小关系，并证明； （Ⅲ）证明：当时，. 例7．（2019·广东深圳高中高考模拟（文））已知函数，. （1）设，讨论函数的单调性； （2）若，证明：在恒成立. 例8.【2018年贵州省普高等学校招生适应性考试】已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若，求证： （为自然对数的底数）. 【精选精练】 1．（2019·广东高考模拟（文））已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设，求证：（参考数据：）． 2.（2019·辽宁高考模拟（文））已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）证明：存在正实数，使得. 3.（2019·山东高考模拟（理））设函数，其中，是自然对数的底数. （1）若在上存在两个极值点，求的取值范围； （2）若，证明：. 4.（2018届山西省榆社中学高三诊断性模拟）已知函数. （1）讨论函数在上的单调性； （2）比较与的大小，并加以证明. 5.（2018届四川省德阳市高三二诊）已知函数且. （1）求实数的值； （2）令在上的最小值为，求证：. 6.（2018届河北省石家庄市高三一模）已知函数， ，在处的切线方程为. （1）求， ； （2）若，证明： . 7．（2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考）已知 . （1）求的单调递减区间； （2）证明：当时， 恒成立. 8．设函数 （1）当时，恒成立，求的取值范围； （2）求证：当时，. 9.（2018届衡水金卷（五））已知函数，其中为自然对数的底数. （1）求函数的单调区间； （2）求证： 时， . 10．（2018届新疆乌鲁木齐市2018届高三第二次监测）已知. （1）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由； （2）若是的极值点，证明. 11.（2018届河南省郑州市高三第二次质量预测）已知函数. (Ⅰ)求曲线在处的切线方程； (Ⅱ)求证：当时， . 12．（2018届云南省昆明市高三二统）已知函数， . （1）当时，求函数的极值； （2）若，