专题1.1 特殊的平行四边形章末重难点题型（举一反三）-2019-2020学年九年级数学举一反三系列（北师大版）

专题1.1 特殊的平行四边形章末重难点题型汇编【举一反三】 【北师大版】 【考点1 菱形的性质】 【方法点拨】菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。 【例1】（2019春•卧龙区期末）如图，已知菱形的周长为24，对角线、交于点，且，则该菱形的面积等于　　 A．6 B．8 C．14 D．28 【变式1-1】（2019春•定远县期末）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式1-2】（2019春•宝应县期末）如图，四边形是菱形，，，于，则等于　　 A． B．4 C． D．5 【变式1-3】（2018秋•巴南区期末）如图，菱形中，，于，交于，于．若的周长为4，则菱形的面积为　　 A． B． C．16 D． 【考点2 矩形的性质】 【方法点拨】矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。 【例2】（2019春•庐阳区期末）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式2-1】（2019春•黄冈期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则　　 A． B． C． D． 【变式2-2】（2019•红河州二模）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为　　 A．12 B．24 C．27 D．54 【变式2-3】（2019春•侯马市期末）如图，矩形对角线、相交于点0，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，若，，则的值为　　 A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4 【考点3 正方形的性质】 【方法点拨】正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。 【例3】（2019春•蚌埠期末）如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则　　 A． B． C． D． 【变式3-1】（2019春•诸暨市期末）已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式3-2】（2019春•越城区期末）如图，在正方形中，，点分别在，上，，，相交于点．若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为　　 A．7 B． C．8 D． 【变式3-3】（2019春•沧州期末）正方形的边长为2，在其的对角线上取一点，使得，以为边作正方形，如图所示，若以为原点建立平面直角坐标系，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，则点的坐标为　　 A．， B．， C．， D．， 【考点4 菱形的判定】 【方法点拨】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。 【例4】（2019春•兰陵县期末）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）求证：四边形是菱形． 【变式4-1】（2019春•泰山区期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接、．求证：四边形是菱形． 【变式4-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）如图，在中，点是边上一点，，连接．点是中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，连接．求证：四边形是菱形． 【变式4-3】（2019春•霍林郭勒市期末）如图，在中，，过点的直线， 为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、． （1）求证：； （2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由． 【考点5 矩形的判定】 【方法点拨】矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。 【例5】（2019春•雨花区校级期末）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接． （1）求证：△； （2）当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【变式5-1】（2019春•郁南县期末）如图，是的中线，，交于点，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）当、之间满足什么条件时，四边形是矩形． 【变式5-2】（2019春•滨海县期中）如图，点、分别是不等边三角形（即的边、的中点．点是内的动点，连接、，点、分别是、的中点，顺次连接点、、、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【变式5-3】（2019春•鱼台县期末）如图，在中，是上的一个动点（不与点、重合），过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． （1）试说明：； （2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论． 【考点6 正方形的判定】 【方法点拨】解正方形的判定：有一个角是直角（对角线相等）的菱形是正方形；邻边相等（对角线互相 垂直）的矩形是正方形. 【