知识结构与拓展 公共焦点离心率 巧借结论妙解题-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

■江苏省张家港中等专业学校 韩文美 涉及公共焦点的椭圆与双曲线的离心率 间的关系问题,是近年高考中比较常见 的 题 型之一,此类问题小巧玲珑,信 息 量 大,处 理 方式灵活多样,入口宽,切入 点 多,极 其 符 合 新课标的理念,备受高考命 题 者 青 睐。下 面 通过证明给出一个有关公共焦点的椭圆与双 曲线的离心率间的关系式,借助这个关系式, 可以巧妙处理圆锥曲线中的相关问题。 1.结论呈现 【结论】已知e1,e2 分别是具有公共焦点 F1,F2 的椭圆 C1 与双曲线 C2 的离心率,点 P 是它们的一个交点,且∠F1PF2=2α(α 为 锐角),则有 sin α e1 2 + cos α e2 2 =1成立。 证明1:在△F1PF2 中,由余弦定理可得 |PF1|2 +|PF2|2 -2|PF1|·|PF2|· cos 2α=|F1F2|2。 展开有(sin2α+cos2α)|PF1|2+(sin2α +cos2α)|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·(cos2α -sin2α)=|F1F2|2。 则有sin2α(|PF1|+|PF2|)2+cos2α· (|PF1|-|PF2|)2=|F1F2|2。 也即sin2α |PF1|+|PF2| |F1F2| 2 +cos2α· |PF1|-|PF2| |F1F2| 2 =1。 结合椭圆、双曲 线 的 定 义 以 及 离 心 率 公 式可得sin2α· 1 e21 +cos2α· 1 e22 =1。 故 sin α e1 2 + cos α e2 2 =1成立。 点评:借助 余 弦 定 理 在△F1PF2 中 建 立 相应的关系 式,通 过 三 角 函 数 中 的 平 方 关 系 以及二倍角公式的巧妙转化,结合椭圆、双曲 线的定义以及离心率公式即可证明。 证明2:设 椭 圆 C1 的 长 半 轴 长,短 半 轴 长分别为a1,b1,双曲线C2 的实半轴长,虚半 轴长分别为a2,b2,它们的焦距均为2c。 则由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公 式可得b12tan α= b22 tan α ,即(a21-c2)tan α= c2-a22 tan α 。 结合三角函数公式,整理得: (a21-c2)sin2α=(c2-a22)cos2α。 则a21sin2α+ a22cos2α=c2,亦即sin2α· a21 c2 +cos2α· a22 c2 =1。 可得 sin2α· 1 e21 +cos2α· 1 e22 =1,即 sin α e1 2 + cos α e2 2 =1成立。 点评:破解 此 题 时 借 助 了 椭 圆 与 双 曲 线 的焦点三角形面积公式b21tan α= b22 tan α ,再利 用椭圆与双 曲 线 中 相 关 参 数 的 关 系 式,结 合 三角函 数 公 式 的 应 用 以 及 离 心 率 公 式 的 应 用,使结论得以证明。 2.结论推广 【推论】已知e1,e2 分别是具有公共焦点 F1,F2 的椭圆 C1 与双曲线 C2 的离心率,点 31 知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2019年7-8月 P 是它们的 一 个 交 点,且∠F1PF2=θ,那 么 1-cos θ e21 + 1+cos θ e22 =2。 证 明:结 合 以 上 结 论 sin θ 2 e1 2 + cos θ 2 e2 2 =1,即 sin2 θ 2 e21 + cos2 θ 2 e22 =1。 结 合 三 角 函 数 的 二 倍 角 公 式 可 得 1-cos θ 2e21 + 1+cos θ 2e22 =1,即 有 1-cos θ e21 + 1+cos θ e22 =2。 所以 1-cos θ e21 + 1+cos θ e22 =2成立。 3.结论应用 3.1离心率的求解问题 图1 例1 (2013年浙江卷 理数第9题)如 图1,F1,F2 是椭圆 C1: x2 4 +y2=1与双 曲 线 C2 的 公 共 焦 点,A,B 分别 是 椭 圆 C1,双 曲 线 C2 在第二、四象限的公共点。若四边形 AF1BF2 为矩形,则双曲线C2 的离心率是( )。 A.2 B.3 C. 3 2 D. 6 2 分析:先由题目条件确定椭圆C1 的离心 率e1= 3 2 ,借助题目中四边形 AF1BF2 为矩 形得 到 α= π 4 ,进 而 结 合 结 论 sin α e1 2 + cos α e2 2 =1代入即可求解双曲线C2 的离心 率。 解:由题可知椭圆C1 的离心率e1=