知识结构与拓展 极坐标系下点线距离公式探究及应用-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

极坐标系下点线距离公式探究及应用 ■江西省丰城中学 吴爱龙 1.引例 已知直线l的极坐标方程为ρcos 3π 4 -θ = 2,试求极点到直线l的距离。 解析:当θ=0 时,ρcos 3π 4 =2,则 ρ= -22;当θ= π 2 时,ρcos π 4 =2,则ρ=22 。 图1 所以直线l过A(-22, 0),B 22, π 2 两 点,如 图 1 所示。 显 然|OA|=|OB|, △OAB 为等腰直角三角形。 所以点O 到 直 线l 的 距 离d= |AB| 2 = |OA|2+|OB|2 2 = 8+8 2 =2。 极点到直线l的距离为2。 此种解法较繁 杂,其 实 此 类 题 目 大 都 转 化为直角坐标系下点到直线的距离问题来求 解。除此之外,我们能不能直 接 在 极 坐 标 系 下求解点到直线的距离问题呢? 为此笔者作 了一些探究,得到一种直接求解点线距 离 问 题的公式与方法,现展示出来,以飨广大读者。 2.极点到直线的距离 定理1 在极坐标系中,极点到 直 线l: ρsin(θ-α)=a(其中ρ>0,a∈R,α 为极轴到 直线l的角)的距离d=|a|。 图2 证明:如图2,过极点 O 作直线 垂 直 直 线l,垂 足 为 H 或 H'。在Rt△OMH 中, sin(α-θ)= |OH| |OM| = d ρ ,所 以ρsin(α-θ)=d。① 在 Rt△OM'H' 中,有 sin(θ-α)= |OH'| |OM'| = d ρ ,所以ρsin(θ-α)=d。② 综合①②两式 并 结 合 直 线 方 程 知,极 点 到直 线 l:ρsin(θ-α)=a 的 距 离 为 d= ρsin|θ-α|=|a|。 推论1 极点到直线ρcos θ=a 的距离 d=|a|,此时α= π 2 。 推论2 极 点 到 直 线ρsin θ=b 的 距 离 d=|b|,此时α=0。 例1 已 知 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 ρcos 3π 4 -θ =2,试求极点到直线l的距离。 解析:将 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 化 为 ρsin π 2 - 3π 4 -θ =2,即ρsinθ-π4 =2。 由定理1知,极点到直线l的距离d=2。 例2 已知直线l的极坐标方程为ρcos θ+ π 4 = 2,试求极点到直线l的距离。 解析:将 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 化 为 ρsin π 2 - θ+ π 4 = 2,即ρsin π4-θ = 2,亦即ρsinθ- π 4 =- 2。由定理1知, 极点到直线l的距离d=|- 2|= 2。 例3 在极坐标系中,直线ρsinθ+π4 = 2,求被圆ρ=4截得的弦长。 解析:将 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 化 为 ρsinπ- θ+ π 4 =2,即ρsin3π4-θ =2, 亦即ρsinθ- 3π 4 =-2。而方程ρ=4所表 示的圆的圆心在极点,半径r=4。由定理1 知,圆心到直线的距离d=|-2|=2,根据垂 径定理 可 得 弦 长 为2 r2-d2 =2 42-22 =43。 3.极坐标系下直线“点角式”方程 定理2 当直线l 过 M0(ρ0,θ0),极轴到 直线的角为α,则l的极坐标方程为ρsin(θ- 01 知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2019年7-8月 α)=ρ0sin(θ0-α)。 图3 证 明:如 图 3,在 △OMM0 中,由正弦定理知: |OM| sin∠OM0M = |OM0| sin∠OMM0 。 也 即 ρ sin[θ0+(π-α)] = ρ0 sin(α-θ) 。 则ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0)。 所以求得直线l 的极坐标方程为ρsin(θ -α)=ρ0sin(θ0-α)。 4.任意点到直线的距离 定理3 极 坐 标 系 下,点 M0(ρ0,θ0)(ρ0 >0)到直线l:ρsin(θ-α)=a(ρ>0,a∈R,α 为极轴到直线的 角)的 距 离 d=|ρ0sin(θ0- α)-a|。 证明:过点 M0(ρ0,θ0)作直线l:ρsin(θ- α)=a 的平行直线l',由定理2知,其方程为 ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)。 图4 若直 线l 与l'在 极 点 的 同 侧,如图4,由定理1中②式知, 极 点 到 直 线 l' 的 距 离 d1 = ρ0sin(θ0-α),极 点 到 直 线l 的 距离为d2=|a|=a。所 以 点 M0(ρ0,θ0)到直线l的距离为: d=|d1-d2|=|ρ0sin(θ0-α)-a|。 图5 若直 线l 与l'在 极 点 的 异 侧,如 图5,由 定 理1中①式 知, 极 点