知识结构与拓展 利用导数谈零点问题处理之“道”-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

■安徽省太和中学 任海涛 ■安徽省六安二中西校区 吴 祯 函数与方程思想是高考重点考查的思想 方法之一,而函数的零点是沟通函数与方程 的重要桥梁,是函数的重要组成部分,含参的 函数零点问题是常考题型,本文通过对一道 模拟题的解法探究,总结利用导数处理函数 零点问题的几种策略,以帮助同学们进一步 理解、认识函数零点问题,提升解题能力。 问题:设函数f(x)=ln x+x,若方程 2mf(x)=x2 有唯一的实数解,则正数 m= 。 解析:已知方程有根(函数有零点),求参 数取值范围的常用方法: (1)分离参数法,先将参数分离或者半分 离,转化为求值域问题或函数图像交点问题; (2)构造函数,先对解析式进行变形,转 化为利用导数研究函数图像解决。 【解法一】全参数分离法 全参数分离法即让两边分别只含参数和 变量。 由于方程2mf(x)=x2 有唯一的实数 解,故ln x+x x2 = 1 2m 有唯一实数解。 也即y= ln x+x x2 和y= 1 2m 图像有唯一 交点。 令 g (x)= ln x+x x2 ,则 g'(x)= 1-2ln x-x x3 。 令g'(x)= 1-2ln x-x x3 =0,x=1。 故g(x)在(0,1)上单调递增,在(1, +∞)上单调递减。 g(x)在x=1处有唯一极大值,也是最 大值g(1)=1。 则 1 2m=1 ,m= 1 2 。 点评:函数的零点即对应方程的根,当函 数有零点求参数时,可以通过分离参数然后 借助导数转化为两个可画函数图像的交点 问题。 【解法二】半参数分离法 半参数分离法即把式子一端化为含参直 线,另一边化为不含参数的函数,这时把问题 转化为直线和曲线的位置关系问题。 由于方程2mf(x)=x2 有唯一的实数 解,故ln x+x x = 1 2mx 有唯一实数解。 也即g(x)= ln x+x x 和y= 1 2mx 的图像 有唯一交点,则g'(x)= 1-ln x x2 。 令g'(x)=0,则x=e,故g(x)在(0,e) 上单调递增,在(e,+∞)上单调递减。 要使 ln x+x x = 1 2mx 有唯一实数解,则 当直线y= 1 2mx 和g(x)= ln x+x x 相切时符 合题意。 设切点为(x0,y0),则: y0= ln x0+x0 x0 , g'(x0)= 1-ln x0 x20 = ln x0+x0 x20 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 化简得,2ln x0+x0-1=0。 易知函数y=2ln x+x-1单调递增,解 得x0=1。 6 知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2019年7-8月 切点为(1,1),则kOP =1。故 1 2m=1 , m= 1 2 。 【解法三】切线法 由于方程2mf(x)=x2 有唯一的实数 解,所以ln x+x= 1 2mx 2 有唯一实数解。 也即g(x)=ln x+x 和h(x)= 1 2mx 2 的图像相切。 设切点为(x0,y0),则 g'(x0)=h'(x0), g(x0)=h(x0)。 也即 1 mx0= 1 x0 +1, ln x0+x0= x20 2m 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 化简得2ln x0+x0-1=0。 解得x0=1,切点为(1,1)。 故 1 m= 1 x0 +1=2,m= 1 2 。 点评:解法二和解法三的本质是转化为 两个函数图像的交点问题,借助于导数的几 何意义,转化为公切线问题。求函数f(x)与 g(x)的公切线,关键是设出切点(x0,y0),利 用切点的特征: f(x0)=g(x0), f'(x0)=g'(x0) 求出切点, 进而求出参数的值。 【解法四】构造函数法 因为方程2mf(x)=x2 有唯一的实数 解,所以2mf(x)-x2=0。 令g(x)=2m(ln x+x)-x2,则g'(x) =- 2 x (x2-mx-m)。 令g'(x)=0,由题意知,x2-mx-m= 0有唯一正根x0,故g(x)在(0,x0)上单调递 减,在(x0,+∞)上单调递增。 x=x0 是函数的唯一极小值点也是最小 值点,故g(x)≥g(x0)=0。 则 x20+mx0-m=0, 2mln x0+2mx0-x20=0。 则2ln x0+x0-1=0,解得x0=1,故 m= 1 2 。 点评:方程的根即为函数的零点,通过对 解析式进行变形构造函数,转化为利用导数 研究函数图像解决。 【解法五】切线放缩法 借助不等式ln x≤x-1≤x2-x,当且 仅当x=1取等号。 故ln x+x≤x2。 由方程2