知识结构与拓展 浅谈随机变量的期望的求解方法-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

浅谈随机变量的期望的求解方法 ■河北省邢台市第二中学 庞敬涛 数学期望是随机变量的重要数字特征, 已知期望,就可以掌握这个随机变量的平均 水平,也就掌握了它取值的概率规律。那么, 如何求解随机变量的期望呢? 下面对随机变 量的期望的求法进行举例说明,希望对同学 们的学习有所帮助。 一、一般分布，定义首选 例1 某项考试按科目A、科目B 顺序 进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可参加 科目B 的考试。每个科目只允许有一次补 考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书。 现小明参加这项考试,已知科目A 每次考试 成绩合格的概率均为 2 3 ,科目B 每次考试成 绩合格的概率均为 1 2 。假设各次考试成绩合 格与否均互不影响,且不放弃所有的考试机 会,求小明参加考试的次数X 的期望。 解析:设“科目A 第一次考试合格”为事 件A1,“科目A 补考合格”为事件A2;“科目 B 第一次考试合格”为事件B1,“科目B 补考 合格”为事件B2。 由已知可得,X 可能取值为:2,3,4。则 P(X=2)=P(A1·B1)+P(A1·A2)= 4 9 ; P(X=3)=P(A1·B1·B2)+P(A1·B1· B2)+P(A1·A2·B1)= 4 9 ;P(X=4)= P(A1 · A2 · B1 · B2 ) + P(A1·A2·B2·B2)= 1 9 。 E(X)=2× 4 9+3× 4 9+4× 1 9= 8 3 。 点评:分清 X 取各个值时对应的事件及 各事件之间的关系,正确求出 X 的分布列, 就可以利用定义E(X)=x1p1+x2p2+…+ xnpn+…,求出X 的期望。 练习1:一批零件中有9个合格品,3个 次品,安装机器时,从这批零件中随机抽取, 若取出的是废品则不放回,求在第一次取到 合格品之前取到废品数ξ的期望。 解析:由题意知ξ可取0,1,2,3。 则P(ξ=0)= C19 C112 = 3 4 , P(ξ=1)= C13 C112 · C19 C111 = 9 44 ,P(ξ=2)= C13 C112 ·C 1 2 C111 ·C 1 9 C110 = 9 220 , P(ξ=3)= C13 C112 ·C 1 2 C111 ·C 1 1 C110 = 1 220 。 所以ξ的分布列如下: ξ 0 1 2 3 P 3 4 9 44 9 220 1 220 所以E(ξ)=0× 3 4+1× 9 44+2× 9 220+ 3× 1 220= 117 110 。 二、特殊分布，公式搞定 例2 某高校设计了一个实验考查方案: 考生从8道备选题中一次性随机抽取4道题, 按照题目要求独立完成全部实验操作。规定: 至少正确完成其中3道题的便可提交通过。已 知8道备选题中考生甲有6道题能正确完成,2 道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都 是 3 5 ,且每题正确完成与否互不影响。分别求 出甲、乙两位考生正确完成题数的数学期望。 解析:设考生甲正确完成实验操作的题 数为X,则X 的可能取值为2、3、4。 P(X=2)= C26C22 C48 = 3 14 ,P(X=3)= C36C12 C48 = 4 7 ,P(X=4)= C46C02 C48 = 3 14 。 所以E(X)=2× 3 14+3× 4 7+4× 3 14=3 。 乙正确完成实验操作的题数为Y,则 Y~B 4, 3 5 ,所以E(Y)=4×35=2.4。 点评:对于某些实际问题中的随机变量, 如果能够判断它服从常见的二项分布,可直 接利用ξ~B(n,p),Eξ=np 求解。对于超 4 知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2019年7-8月 几何分布,我们也有相应的公式:E(X)= nM N ,同 学们不妨作为结论记住。 练习2:某厂生产电子元件,其产品的次 品率为5%,现从一批产品中任意地连续取 出2件,写出其中次品数ξ的期望。 解析:由题意,得到的次品数ξ~B(2, 5%),所以E(ξ)=2× 5 100=0.1 。 评注:一批产品可以认为数量较大,从中 任意地连续取出2件,相当于2次独立重复 试验,得到的次品数ξ服从二项分布。 三、线性关系，性质帮忙 例3 某商场为刺激消费,拟按以下方案 进行促销:顾客每消费500元便得到抽奖券1 张,每张抽奖券的中奖概率为1 5 ,若中奖,商场 返回顾客现金100元。某顾客现购买价格为7 599元的笔记本电脑一台,得到奖券15张。 设 该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为X,购买笔 记本电脑的实际支出为Y,求Y的数学期望。 解析:由已知得:X~B 15, 1 5 ,所以 E(X)=15× 1 5=3 。 Y=7 599-100X,所以E(Y)=7 599-