知识结构与拓展 圆锥曲线中最值问题的求解策略-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

圆锥曲线中最值问题的求解策略 ■河北省新河县新河中学 杨中凯 一、构建目标函数求最值问题 例1 在过动直线x+2y=t(其中t∈ (0,3a])与定直线2x-y = a 的交点的等轴 双曲线系:x2-y2=λ中,当t取何值时,λ达 到最大值或最小值? 分析:从双曲线系:x2-y2=λ过两直线 交点入手,建立λ与t的函数关系。 解:解方程组 x+2y=t, 2x-y=a 得两直线交点 坐标为Qt+2a5 ,2t-a 5 。 因为双曲线系x2-y2=λ过点Q,所以: λ = x2 - y2 = -3t2+8at+3a2 25 = -3t- 4 3a 2 + 25 3a 2 25 , t∈(0,3a]。 当t= 4 3a 时,λmax= 1 3a 2。 又由0<t≤3a,得- 4 3a<t- 4 3a≤ 5 3a ,则 t- 4 3a ≤ 5 3a 。 于是当t= 4 3a 时, λmin=0。此时方程 x2-y2=0不表示双曲线,故无最小值。 例2 设(x,y)是椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1 (a> b>0)在x 轴上方的点,求W=x+y 的最大 值。 解析:椭圆x 2 a2 +y 2 b2 =1的参数方程形式 为 x=acos θ, y=bsin θ, θ∈(0,π)。 由于(x,y)是椭圆上的点,故 W=x+ y=acos θ+bsin θ= a2+b2sin(φ+θ)≤ a2+b2。 所以W=x+y 的最大值为 a2+b2。 点评:若题目中的条件和结论能体现明 确的函数关系,则可首先选择适当的变量构 建目标函数,从而研究这个函数的最值问题。 二、转化为用平面几何知识求最值问题 例 3 试 求 函 数 f (x) = -1-2sin x -3- 5cos x 的最大值、最小值。 分析:由于f (x) = -1-2sin x -3- 5cos x 可以 看作是经过点C(-3,-1)和点P(5cos x, 2sin x)的直线的斜率。而点P 的轨迹是椭 圆 x2 5+ y2 4=1 ,因此f (x) 的最值就是过点C 与椭圆 x2 5+ y2 4=1 上任一点的直线斜率的最值。 图1 解:设CA、CB 是 椭圆 的 两 条 切 线,如 图1,故f (x) 的最大 值为kCA,f (x)的最 小值 为 kCB。设 过 C 与椭圆 x2 5+ y2 4=1 相 切的切线的斜率为k,切线方程可设为y= kx+m。 由 y=kx+m, x2 5+ y2 4=1 消去y 得: (4+5k2)x2+10 kmx+5m2-20=0。 由Δ=0,得 m=± 5k2+4,可求得切 线方程为y=kx± 5k2+4。 因为切线过点C(-3,-1),所以-1= -3 k± 5k2+4。 则k1= 3+ 21 4 ,k2= 3- 21 4 。 f (x)的最大值为 3+ 21 4 , f (x)的最 小值为 3- 21 4 。 例4 已知x,y 满足x 2 16+ y2 25≤1 ,求 z=y-3x 的最值。 (下转第5页) 3 知识篇 知识结构与拓展 高二数学 2019年7-8月 几何分布,我们也有相应的公式:E(X)= nM N ,同 学们不妨作为结论记住。 练习2:某厂生产电子元件,其产品的次 品率为5%,现从一批产品中任意地连续取 出2件,写出其中次品数ξ的期望。 解析:由题意,得到的次品数ξ~B(2, 5%),所以E(ξ)=2× 5 100=0.1 。 评注:一批产品可以认为数量较大,从中 任意地连续取出2件,相当于2次独立重复 试验,得到的次品数ξ服从二项分布。 三、线性关系，性质帮忙 例3 某商场为刺激消费,拟按以下方案 进行促销:顾客每消费500元便得到抽奖券1 张,每张抽奖券的中奖概率为1 5 ,若中奖,商场 返回顾客现金100元。某顾客现购买价格为7 599元的笔记本电脑一台,得到奖券15张。 设 该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为X,购买笔 记本电脑的实际支出为Y,求Y的数学期望。 解析:由已知得:X~B 15, 1 5 ,所以 E(X)=15× 1 5=3 。 Y=7 599-100X,所以E(Y)=7 599- 100E(X)=7 599-300=7 299(元)。 点评:本题若直接求Y 的分布列,比较麻 烦。不难发现X 与Y 之间满足线性关系Y= 7 599-100X,故可以利用期望的性质帮助解 决。牢记:(1)E(aX+b)=aE(X)+b;(2) E(X+Y)=E(X)+E(Y)。 练