经典题突破方法 高考中的十种线性规划题型-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

高考中的十种线性规划题型 ■湖北省武汉市第14中学 江 波 线性规划是运筹学的一个重要分支,在 实际生活中有着广泛的应用,主要用于解决 生活生产中的资源利用、人力调配、生产安排 等问题。线性规划也是一种重要的数学模 型,同学们可以从中充分体验从实际问题到 数学问题的建模过程,体会从具体到一般的 抽象思维过程,提高大家应用数形结合思想 解题的能力,有利于培养大家的分析问题和 解决问题的能力。 从考纲和近几年的高考题来看,命题形 式以选择和填空为主,但也有以解答题的形 式出现。下面结合近十年的高考试卷,总结 了高考中的线性规划问题的十种主要类型, 以供同学们学习、复习时使用。 一、截距问题 技巧点拨:1.解决不含实际意义的线性 规划问题的一般步骤:①准确画出可行域;② 根据目标函数的几何意义找到最优解;③求 出目标函数的最值。 2.线性目标函数z=ax+by(b≠0)的几 何意义:z b 表示直线ax+by-z=0在纵轴 上的截距。 易错点:1.可行域边界的“实”与“虚”。 2.目标函数的斜率与可行域边界斜率的 大小比较。 3.b<0时,实数z的大小与图中截距 z b 的大小相反。 练习1. (2018年新课标卷)若x,y 满足 约束条件 x-2y-2≤0, x-y+1≥0, y≤0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则z=3x+2y 的最 大值为 。 答案:6 练习2.(2012年陕西卷)设函数f(x)= ln x,x>0, -2x-1,x≤0, D 是 由 x 轴 和 曲 线y= f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的 封闭区域,则z=x-2y 在区域D 上的最大 值为 。 答案:2 二、距离问题 技巧点拨:1.代数式(x-a)2+(y-b)2 表示点(x,y)与点(a,b)之间距离的平方。 2.|Ax+By+C|表示点(x,y)到直线 Ax+By+C=0的距离的 A2+B2倍。 易错点:距离的最值的最优解是在可行 域的顶点还是边界处。 练习3.(2016年江苏卷) 已知实数x,y 满足 x-2y+4≥0, 2x+y-2≥0, 3x-y-3≤0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则x2+y2 的取值范围 是 。 答案:4 5 ,13 练习4.(2010年福建卷)设不等式组 x≥1, x-2y+3≥0, y≥x, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所表示的平面区域是 Ω1,平 面区域Ω2 与区域Ω1 关于直线3x-4y-9= 0对称,对于Ω1 中的任意一点A 与Ω2 中的 任意一点B, |AB|的最小值等于( )。 A. 28 5 B.4 C. 12 5 D.2 答案:B 练习5.(2017年南昌调研)设变量x,y 满足约束条件 x-1≥0, x-y≤0, x+y-4≤0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则z=|x+3y| 的最大值为 。 答案:10 三、斜率问题 技巧点拨:代数式y-b x-a 表示点(x,y)与 03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2019年7-8月 点(a,b)之间连线的斜率。 易错点:斜率的正负变化。 练习6.(2015年全国卷)若x,y 满足约 束条件 x-1≥0, x-y≤0, x+y-4≤0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 则y x 的最大值为 。 答案:3 练习7.(2012年江苏卷)已知正数a,b, c满足: 5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a+ cln c,则 b a 的取值范围是 。 答案:[e,7] 四、面积问题 技巧点拨:画出准确的可行域,确定图形 的形状以及顶点坐标,求出相应面积。 易错点:1.面积与边界的“实”与“虚”无关。 2.不规则图形面积应用割补法求面积。 练习 8.(2009 年 安 徽 卷)若 不 等 式 x≥0, x+3y≥4, 3x+y≤4, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所表示的平面区域被直线y= kx+ 4 3 分为面积相等的两部分,则k 的值是 ( )。 A. 7 3 B. 3 7 C. 4 3 D. 3 4 答案:A 练习9.(2012年重庆卷)设平面点集 A = (x,y)(y-x)y- 1 x ≥0 ,B={(x, y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则 A∩B 所表 示的平面图形的面积为( )。 A. 3 4π B. 3 5π C. 4 7π D. π 2 答案:D 五、含参问题 技巧点拨:1.仅目标函数中含参的问题 可抓住参数的几何意义研究。 2.约束条件中含参的问题可运用逆向思 维,由目标函数已知的最值入手,结合可行域 的边界来确定最优解,再由最优解来确定最 后的边界。 易错点: