经典题突破方法 浅谈妙用导数处理不等式相关问题-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

浅谈妙用导数处理不等式相关问题 ■湖北省武汉市第三中学 张郈辚 在高中新课标中,导数在各类数学问题中 有着非常广泛的应用。 导数已成为研究函数性 质的一种重要工具,例如求函数的单调区间,求 最大(小)值,求函数的值域,等等。在新课程背 景下,不等式难度已大幅度降低,若压轴题中出 现不等式,一般情况都需要转化为函数,通过求 导,利用单调性求出极值、最值,导数作为工具 研究函数的性质,从而解决不等式问题。下面 具体讨论导数在解决与不等式有关问题时的妙 用。 一、利用导数证明不等式 我们利用导数研究函数单调性来证明不 等式,函数在某个区间上的导数值大于(或小 于)0时,该 函 数 在 该 区 间 上 单 调 递 增(或 递 减)。因而在证明不等式时,根据不等式的特 点,有时可以构造函数,用导数证明该函数的 单调性,然后再用函数单调性达到证明 不 等 式的目的。常见的步骤如下:直接构造函数, 然后用导数证明该函数的增减性,再利 用 函 数在它同一单调递增(减)区间内,自变量越 大,函数值越大(小),来证明不等式成 立;有 时先把不等式变形再构造函数,然后利 用 导 数证明该函数的单调性,达到证明不等 式 的 目的。 例1 已知f(x)=ln x,g(x)= x- 1 x 。 (1)当x≥1时,求f(x)-g(x)的最大值; (2)求证:x< x-1 ln x < x+1 2 ,∀x>1恒 成立 分析:(1)设F(x)=f(x)-g(x)=ln x- x- 1 x ,x≥1,求导,利用单调性即可得 其最大值。 (2)由(1)得,ln x< x- 1 x = x-1 x ,变 形即得左边的不等式 x< x-1 ln x 。右边的不 等式显然不宜直接作差,故考虑作适当 的 变 形。设G(x)=(x+1)ln x-2(x-1),x> 1,求导得 G'(x)=ln x+ x+1 x -2=ln x+ 1 x -1= xln x-x+1 x ,G'(x)的 符 号 还 不 能 直接 确 定。为 了 确 定 G'(x)的 符 号,再 设 H(x)=xln x-x+1(x>1),求导得 H'(x)= ln x>0,所以 H(x)>H(1)=0,即G'(x)>0。 由此 可 知 G(x)>G(1)=0,即 (x+1)· ln x>2(x-1),从而原命题得证。 解:(1)设F(x)=f(x)-g(x)=ln x- x- 1 x (x≥1),则: F' (x)= 1 x - 1 2 x - 1 2x x = 2 x-x-1 2x x =- (x-1)2 2x x ≤0。 所以 F(x)在[1,+∞)上 单 调 递 减,故 F(x)的最大值为F(1)=0。 (2)由(1)得,对∀x>1,都 有 f(x)< g(x),即ln x< x- 1 x = x-1 x 。因为x- 1>0,ln x>0,所以 x< x-1 ln x 。 设G(x)=(x+1)ln x-2(x-1)(x> 1),则G'(x)=ln x+ x+1 x -2=ln x+ 1 x - 1= xln x-x+1 x 。 设 H (x)=xln x-x+1(x>1),则 H'(x)=ln x>0。所 以 H (x)在 区 间(1, +∞)内单调递增,故 H(x)>H(1)=0,即 G'(x)>0。 所以G(x)在区间(1,+∞)内单调递增, G(x)>G(1)=0,即(x+1)ln x>2(x-1)。 因为x-1>0,ln x>0,所 以 x-1 ln x < x+1 2 。 原命题得证。 64 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2019年7-8月 点评:本题 主 要 考 查 了 导 数 及 其 应 用 和 不等式的证 明,进 一 步 体 现 了 导 数 应 用 广 泛 的特点,题面看似是不等式证明问题,但转化 之后却是函数的最值问题。本例还可说明用 函数单调性 证 明 不 等 式 时,如 何 选 择 自 变 量 来构造函数的重要性。 练习1 已知函数f(x)=ex-ax (a 为 常 数)的 图 像 与 y 轴 交 于 点 A,曲 线 y= f(x)在点 A 处的切线斜率为-1。 (1)求a 的值及函数f(x)的极值; (2)证明:当x>0时,x2<ex。 分析:(1)利用导数的几何意义求得a 的 值,再利用导数求得函数f(x)的极值;(2)构 造函数g(x)=ex-x2,利用导数求得函数的 最小值,即可得出结论。 解:(1)由 f(x)=ex -ax,得 f'(x)= ex-a。 f'(0)=1-a=-1,解得a=2。 所以f(x)