经典题突破方法 轻松破解两曲线上点之间距离的最值-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

轻松破解两曲线上点之间距离的最值 ■四川省南充龙门中学 蒋 敏 最值问题是高考的重点与热点,当最值 遇上曲线,又将产生怎样美丽的邂逅? 代数 与几何的交融,多角度挖掘,全方位剖析,内 化于心,三法并举,轻松破解这类距离的最值 问题。 两曲线上点间的距离的最值,更体现了 代数与几何的“联姻”, “开发课本赢高考”, “多法并举拓思维”,广挖洞,深积粮。下面, 笔者从人教版选修2-1第47页例7出发, 谈谈自己对这类问题的多角度思考。 一、联立方程组的思想，逐步渗透，直 捣黄龙！ 例1 (人教版选修2-1第47页例7) 已知椭圆 x2 25+ y2 9=1 ,直线l:4x-5y+40= 图1 0,椭圆上是否存在一点,它到 直线l 的距离最小? 最小距 离是多少? 解析:由直线l的方程与 椭圆的方程可以知道,直线l 与椭圆不相交。设直线 m 平 行于直线l,则直线m 的方程 可以写成4x-5y+k=0。 由方程组 4x-5y+k=0, x2 25+ y2 9=1 消去y 得: 25x2+8kx+k2-225=0。 令方程的根的判别式 Δ=64k2-4× 25(k2-225)=0。 解方程得k1=25或k2=-25。 由图1可知,当k=25时,直线 m 与椭 圆的交点到直线l的距离最近,此时直线 m 的方程为4x-5y+25=0。直线m 与直线l 间的距离d= |40-25| 42+52 = 15 41 41 。 所以,所求最小距离是15 41 41 。 评注:作出直线l及椭圆的图形,如图1 所示。观察图形,可以发现,利用平行于直线 l且与椭圆只有一个交点的直线,可以求得相 应的最小距离。 变式1:试在椭圆 x2 16+ y2 9=1 上找一点, 使它到直线y=x-9的距离最短,并求出最 短距离。 解析:由题意,当与直线y=x-9平行 的直线与椭圆 x2 16+ y2 9=1 相切时,切点到已 知直线的距离即为所求。设直线y=x+m, 由方程组 y=x+m, x2 16+ y2 9=1 消去y 得: 25x2+32mx+16m2-144=0。 由Δ=(32m)2-4×25(16m2-144)= 0,解得m=±5。 分析可知,m=-5。 代入方程解得x= 16 5 ,y=- 9 5 。 于是所求点的坐标为 16 5 ,- 9 5 ,最短 距离为d= |-5-(-9)| 2 =22。 二、参数方程的思想，简洁美观，大题 小做！ 例2 求椭圆x 2 16+ y2 4=1 上的点到直 线x+2y- 2=0距离的最大值。 解析:设椭圆上任意一点 P 的坐标为 (4cos θ,2sin θ)。 由点到直线的距离公式可得: d = |4cos θ+4sin θ- 2| 5 = 1 5 42sinθ+ π 4 - 2 。 当sinθ+ π 4 =-1时,d 取得最大值 10,所以距离的最大值为 10。 评注:结合到椭圆的参数方程,设椭圆上 的动点坐标,直接表示出距离,再进行三角代 83 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2019年7-8月 换,目的性很强,简洁美观! 变式2:求椭圆 x2 9+ y2 4=1 上的点到直线 x+2y+3=0的最短距离。 解析:设椭圆上任意一点 P 的坐标为 (3cos θ,2sin θ)。 由点到直线的距离公式可得: d= |3cos θ+4sin θ+3| 5 = 1 5 |5sin(θ+φ)+3|,其中tan φ= 3 4 。 当sin(θ+φ)=-1时,d 取得最小值 2 55 ,所以距离的最小值为2 55 。 三、导数的思想，思维的升华，解题的 利器！ 类型1:直线与抛物线的结合求最值 例3 已知点P 在抛物线y=4x2 上, 则点P 到直线l:4x-y-5=0的最短距离 为 。 解析:由点P 到直线l:4x-y-5=0的 距离最短,可知过点P 的切线与直线l:4x- y-5=0平行。设点P(x0,y0),则切线的斜 率y'|x=x0=8x0=4,求得P 1 2 ,1 。 则d= |2-1-5| 17 = 4 17 17 。 评注:导数是解决函数问题的利器,本质 上是平行直线系中的一条与抛物线相切的 线,将抛物线方程看成二次函数,求导。待定 系数法的思想,设出切点,可求得斜率。由于 该切线与已知直线平行,所以斜率相等, 进 一步可求出切点坐标,问题迎刃而解! 变式3:已知抛物线y2=4x 与直线l:x +2y-4=0相交于A,B 两点,点P 在抛物 线的弧AOB 上,点P 到直线l:x+2y-4= 0的最大距离为 。 解析:由题意可知,点 P 处的切线平行 于直线l,且点P 在x 轴下方图像上,即