经典题突破方法 三种方法破解隐零点问题-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

三种方法破解隐零点问题 ■甘肃省白银市第一中学 胡贵平 导数是探究函数性质的利器,求导函数 的零点是其中一个关键环节,有些导函数的 零点能判断其存在,但无法精确求值, 我们 称之为“隐零点”。对于隐零点问题,可以采 用“虚设零点,整体代换”的方法将零点设出 来,然后谋求整体的转化和过渡,将超越式转 化为普通的代数式进行求解;也可以用“数形 结合,转化切线”的方法将图像画出来,然后 数形结合,将超越式设计为两个函数的不等 式,辅以图分析,直观呈现曲线关系;还可以 采用“分类讨论,转化最值”的方法将问题分 解, 然后谋求各个击破。下面通过例题说明。 例1 已知函数f(x)=xln x,g(x)= k(x-1)-x(k∈R)。 (1)求函数f(x)的极值; (2)若f(x)>g(x)对任意的x∈(1, +∞)成立,求实数k的最大整数取值。 解析:(1)f(x)的定义域为(0,+∞)。 因为f(x)=xln x,所以f'(x)=ln x+1。 令f'(x)<0,得0<x< 1 e ; 令f'(x)>0,得x> 1 e 。 所以f(x)的单调递减区间是 0, 1 e ,单 调递增区间是 1 e ,+∞ ,当x=1e时,函数 f(x)取得极小值f 1 e =1eln1e=-1e,函 数f(x)不存在极大值。 (2)解法一(整体代换,设而不求): 由题意,知xln x>k(x-1)-x 对任意 x∈(1,+∞)成立,所以k< xln x+x x-1 对任意 x∈(1,+∞)成立。 设 L (x)= xln x+x x-1 ,则 L'(x)= x-ln x-2 (x-1)2 。设 m(x)=x-ln x-2,则 m'(x)=1- 1 x 。因为x∈(1,+∞),所以 m'(x)>0,m(x)在(1,+∞)上是增函数。 因为m(2)<0,m(3)<0,m(4)>0,所 以存在x0∈(3,4)使得m(x0)=0。 因此,当x∈(1,x0)时, m(x)<0,即 L'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时, m(x)>0, 即L'(x)>0。 L(x)在(1,x0)上 单 调 递 减,在(x0, +∞)上单调递增,L(x)的最小值L(x)min= L(x0)= x0ln x0+x0 x0-1 。 因为m(x0)=x0-ln x0-2=0,所以 x0-2=ln x0。 所以L(x0)= x0(x0-2)+x0 x0-1 =x0,k< x0。 又因为3<x0<4,所以k≤3,k 的最大 整数取值是3。 解法二(数形结合,转化切线): 由题意,得xln x>k(x-1)-x 对任意 x∈(1,+∞)成立,也即xln x+x>k(x-1) 对任意x∈(1,+∞)成立。设h(x)=xln x +x,x∈(1,+∞),则h'(x)=ln x+2, h'(x)>0。问题等价于函数h(x)=xln x+ x 的图像恒在过定点(1,0)的直线y=k(x- 1)的上方。 设直线与曲线相切于(x0,h(x0)),则切 线的斜率k'=ln x0+2。又切线的斜率k'= h(x0)-0 x0-1 = x0ln x0+x0 x0-1 ,所以x0ln x0+x0 x0-1 =ln x0+2,即x0-ln x0-2=0。 设m(x)=x-ln x-2,x∈(1,+∞), 则m'(x)=1- 1 x>0 ,故m(x)在(1,+∞) 上是增函数,且m(3)<0,m(4)>0,即3<x0 <4。切线的斜率k'=ln x0+2,x0∈(3,4), 所以3<k'<4,k的最大整数值是3。 33 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2019年7-8月 解法三(分类讨论,转化最值): 由题意,得xln x>k(x-1)-x 对任意 x∈(1,+∞)成立,所以xln x+x-k(x-1) >0。 设h(x)=xln x+x-k(x-1),x∈ (1,+∞),h'(x)=ln x+2-k。 ①当k≤2时,h'(x)>0,从而h(x)在 (1,+∞)上是增函数,h(x)>1,符合题意。 ②当k>2时,若x∈(1,ek-2),h'(x)< 0,从而h(x)在(1,ek-2)上是减函数;若x∈ (ek-2,+∞),h'(x)>0,从而h(x)在(ek-2, +∞)上是增函数。故h(x)min=h(ek-2)= k-ek-2>0。令 m(k)=k-ek-2(k>2),则 m'(k)=1-ek-2<0,从而m(x)在(2,+∞) 上是减函数,且m(3)=3-e3-2>0,m(4)= 4-e4-2<0,所以k的最大整数取值是3。 评注