经典题突破方法 圆锥曲线综合问题的八大热点题型-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

■安徽省利辛高级中学 胡 彬 圆锥曲线综合问题是高考的热点,也是 解析几何的重要内容,一般包括:轨迹问题, 弦长及中点问题,定点、定值与定直线问题, 参变量的取值范围与最值问题,探索性问题 等。这些热点问题一般以直线与圆锥曲线的 位置关系为载体,参数处理为核心,需要运用 函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识求 解。试题综合性强,综合考查数形结合思想, 函数与方程思想,特殊与一般的思想,突出考 查同学们的推理论证能力和运算求解能力, 全面考查考生的数学核心素养。下面对这些 热点问题进行分类剖析。 热点题型1:轨迹问题 例1 (2017年课标全国Ⅱ卷)设O 为 坐标原点,动点 M 在椭圆C: x2 2+y 2=1上, 过 M 作x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足 NP→= 2NM→。 (1)求点P 的轨迹方程; (2)设点Q 在直线x=-3上,且OP→· PQ→=1,证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过椭圆C 的左焦点F。 解析:(1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0),NP→=(x-x0,y),NM→=(0,y0)。 由NP→= 2NM→,得x0=x,y0= 2 2y 。因为 M(x0,y0)在椭圆C 上,所以 x2 2+ y2 2=1 。因 此点P 的轨迹方程为x2+y2=2。 (2)由题意知F(-1,0)。设Q(-3,t), P(m,n),则OQ→=(-3,t),PF→=(-1-m, -n),OQ→·PF→=3+3m-tn,OP→=(m,n), PQ→=(-3-m,t-n)。由OP→·PQ→=1得, -3m-m2+tn-n2=1。又由(1)知m2+n2 =2,故3+3m-tn=0,所以OQ→·PF→=0, 即OQ→⊥PF→。 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ,所 以过点P 且垂直于OQ 的直线l过椭圆C 的 左焦点F。 突破方法:(1)设出 P、M 的坐标,利用 NP→= 2NM→ 得到P、M 坐标间的关系,利用 相关点法求得点P 的轨迹方程;利用OP→· PQ→=1得OQ→·PF→=0,进而使命题获证。 (2)求轨迹方程的方法有直译法,定义 法,几何法,相关点法(代入法),参数法,交轨 法,整体法,代换法。 热点题型2:弦长问题 例2 (2018年山西孝义模拟卷)已知 椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点 分别为F1、F2,且点F1 到椭圆C 上任意一 点的最大距离为3,椭圆C 的离心率为 1 2 。 (1)求椭圆C 的标准方程。 (2)是否存在斜率为-1的直线l与以线 段F1F2 为直径的圆相交于A、B 两点,与椭 圆相交于C、D,且 |CD| |AB|= 83 7 ? 若存在,求 14 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2019年7-8月 出直线l的方程;若不存在,请说明理由。 解析:(1)根据题意,设F1、F2 的坐标分 别为(-c,0),(c,0)。由题意可得 a+c=3, c a= 1 2 , 解得a=2,c=1,则b2=a2-c2=3。 故椭圆C 的标准方程为 x2 4+ y2 3=1 。 (2)假设存在斜率为-1的直线l,设为 y=-x+m。由(1)知F1、F2 的坐标分别为 (-1,0)、(1,0),所以以线段F1F2 为直径的 圆为x2+y2=1。由题意知圆心(0,0)到直 线l的距离d= |-m| 2 <1,得|m|< 2。 |AB|=2 1-d2= 2× 2-m2。 联立 x2 4+ y2 3=1 , y=-x+m, 消去y,得: 7x2-8mx+4m2-12=0。 由题意得 Δ=(-8m)2-4×7(4m2- 12)=336-48m2=48(7-m2)>0,则 m2< 7。 设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2= 8m 7 ,x1x2= 4m2-12 7 。 |CD|= 2|x1 - x2|= 2 × 8m 7 2 -4× 4m2-12 7 = 46 7 × 7-m 2= 83 7|AB|= 83 7 × 2× 2-m 2,解得m2= 1 3<7 ,则m=± 3 3 ,即存在符合条件的直线 l,其方程为y=-x± 3 3 。 突破方法:(1)求解直线与圆相交的弦长 问题,若弦心距为d,半径为R,则弦长|AB| =2 R2-d2。(2)求直线与圆锥曲线相交 的弦长时,常用“设而不求”的策略,利用弦长 公式求解方法有:①求出两交点坐标,用公式 求解;②用弦长公式:|AB|= 1+k2|x1- x2|或|AB|= 1+ 1 k2 |y1-y2|(k≠0),其 中k 为直线AB 的斜率,A(x1,y1),B(x2, y2)。 热点题型3:弦中点问题 例3 (2017年河北