易错题归类剖析 在椭圆学习中常见的几个解题误区-2019年7-8月刊《中学生数理化》高中版·高二数学

在椭圆学习中常见的几个解题误区 ■重庆市铁路中学校 何成宝 椭圆是圆锥曲线中的重要内容之一,也是高 考的必考内容。椭圆涉及的内容多,题目灵活,解 题时会遇到一些似是而非的问题。此类问题往 往是由于我们对某些概念或公式理解上的模糊 认识,从而造成一些表面看起来正确而实际上错 误的判断,使我们的解题思维走入一个个误区。 误区一:缺乏对第一定义的深刻理解,应 用定义时考虑不深刻,不全面 例1 动点 P 到两定点F1(-4,0)、 F2(4,0)的距离之和为8,则动点 P 的轨迹 为( )。 A.椭圆 B.圆 C.一条线段 D.无轨迹 错解:选A。 剖析:上述解答忽视椭圆第一定义中的 条件2a >|F1F2|而导致错误。因为 8等于 焦距,所以点P 的轨迹是一条线段。 正解:选C。 点评:当2a>2c>0时,轨迹为椭圆;当 2a=2c时,轨迹为线段F1F2;当2a<2c时, 则轨迹不存在。 误区二:在确定含有参数的方程所表示 的椭圆类型时,考虑问题不全面 例2 椭圆2x2+my2=2m 的焦距为 6,求m 的值。 错解:标准方程为x 2 m + y2 2 =1 ,故c= m-2,2× m-2=6,m=11。 剖析:因为由题设不能确定椭圆的焦点 在哪个坐标轴上,所以双曲线的焦点有可能 在 y 轴上,解出m 的值可能有两个。 正解:(1)当焦点在x 轴上时, 即m>2> 0,可得c= m-2,2× m-2=6,则m=11。 (2)当焦点在轴y 上时,即2>m >0,可 得c= 2-m,2× 2-m =6,m=-7,不 符合题意。故m=11。 误区三:在解析几何中,忽视了Δ>0这 一前提条件 例3 给定椭圆方程x 2 4+ y2 3=1 ,经过 点B(2,2),能否作直线m,使m 与所给椭圆 交于两点Q1 和Q2,且B 是Q1、Q2 的中点? 这样的直线 m 如果存在,求出它的方程;如 果不存在,请说明理由。 错解:假设直线m 存在,则直线m 不垂直 于x轴,可设直线m 的方程为y-2=k(x-2)。 设 Q1 和 Q2 的坐标分别为(x1,y1)、 (x2,y2)。则 x21 4+ y21 3=1 ,x 2 2 4+ y22 3=1 ,两式相 减得:3×(x1+ x2)(x1 -x2)+4(y1+y2)· (y1- y2)=0。 因为Q1 Q2 的中点B 的坐标为(2,2),所 以x1+ x2=y1+y2=2, y1-y2 x1-x2 =- 3 4 ,k= - 3 4 。直线m 的方程为y-2=- 3 4 (x-2)。 剖析:由 y-2=- 3 4 (x-2), x2 4+ y2 3=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消 去 y 得: 21x2-84x+148=0。Δ=-5 376<0, 求不出Q1 、Q2,不存在满足条件的直线。 正解:假设直线m 存在,则直线 m 不垂 直于x 轴,可设直线 m 的方程为:y-1= k(x-1)。 设 Q1 和 Q2 的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2)。由 y-2=k(x-2), x2 4+ y2 3=1 消去y 得: (4k2+3)x2+16k(1-k)x+ 16k2- 32k+4=0。① 方程①有两解的前提条件是Δ=29k-4 >0,k> 4 29 。而- 3 4∉ 4 29 ,+∞ , 故不存在 这样的直线。 点评:“代入相减法”需要掌握,但应先判 断曲线与直线是否相交,即当题目出现“直线 与圆锥曲线交于不同两点”这一条件时,一定 要优先考虑Δ>0。 (责任编辑 徐利杰) 75 解题篇 易错题归类剖析 高二数学 2019年7-8月 $$