2.3 函数的值域与最值（课件+word）- 【创新设计】2020版高考一轮总复习理科数学（江苏专用）

第3讲　函数的值域与最值 考试要求　1.函数的值域、最大值、最小值及其求法(B级要求)；2.运用函数图象研究函数的值域与最值(B级要求). 知 识 梳 理 1.函数定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量；x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值[来源:学+科+网Z+X+X+K] 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝|x－1|和y＝ln x，x∈[1，＋∞)值域相同.(　　) (2)函数y＝x2－2x，x∈(－1，3)有最大值.(　　) (3)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.(　　) (4)分段函数若有最大值，则最大值可以有多个.(　　) 解析　(2)中函数在(－1，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，无最大值；(4)中分段函数其实是一个函数，最大值至多一个. 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.若函数y＝的定义域为[－4，－2)∪[2，8)，则其值域为________. 解析　由y＝的图象可知，当x∈[－4，－2)∪[2，8)时，其值域为(－4，－2]∪(1，4]. 答案　(－4，－2]∪(1，4] 3.已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为[0，3]，则f(x)的值域为________. 解析　f(x)＝－x2＋2x＋1在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝－2.所以f(x)∈[－2，2]. 答案　[－2，2] 4.(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________. 解析　可判断函数f(x)＝在[2，6]上为减函数， 所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝. 答案　2　 5.函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________. 解析　易得f(x)＝，当x≥2时，x－1>0，易知f(x)在[2，＋∞)是减函数， ＝1＋ ∴f(x)max＝f(2)＝1＋＝2. 答案　2 考点一　确定函数的最值[来源:Z§xx§k.Com] 【例1】 (1)(2019·南京、盐城一模)已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________，函数f(x)的最大值是________. (2)函数f(x)＝(x>1)的最小值为________. 解析　(1)由于f(x)＝ 所以f(3)＝log3＝－1，则f(f(3))＝f(－1)＝－3. 当x>1时，f(x)＝logx是减函数，得f(x)<0. 当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤f(1)＝1，综上可知，f(x)的最大值为1. (2)法一　(基本不等式法) f(x)＝＝ ＝(x－1)＋＋2＝8， ＋2≥2 当且仅当x－1＝，即x＝4时，f(x)min＝8. 法二　(导数法)f′(x)＝， 令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去). 当1<x<4时，f′(x)<0， f(x)在(1，4)上是递减的； 当x>4时，f′(x)>0， f(x)在(4，＋∞)上是递增的， 所以f(x)在x＝4处取到极小值也是最小值， 即f(x)min＝f(4)＝8. 答案　(1)－3　1　(2)8 规律方法　求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 【训练1】 (1)函数y＝x＋的最小值为________. (2)函数f(x)＝的最大值为________. 解析　(1)易知函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，∴x＝1时，ymin＝1.(本题也可用换元法求解) (2)当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2. 故函数f(x)的最大值为2. 答案　(1)1　(2)2 考点二　求函数的值域[来