2.4 函数的奇偶性与周期性（课件+word）- 【创新设计】2020版高考一轮总复习理科数学（江苏专用）

第4讲　函数的奇偶性与周期性 考试要求　1.函数奇偶性的含义及判断(B级要求)；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇偶性(A级要求)；3.函数的周期性、最小正周期的含义，周期性的判断及应用(B级要求). 知 识 梳 理 1.函数的奇偶性 奇偶性[来源:学_科_网Z_X_X_K] 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 2.奇、偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称). (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. (3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝0. (4)定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. (5)对称性的三个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；[来源:学科网ZXXK] ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称. 3.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. (3)函数周期性的三个常用结论： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a， ②若f(x＋a)＝，则T＝2a， ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数.(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(　　) (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(　　) 解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错误. (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(2019·苏州暑假测试)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(－1)＝________. 解析　因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)＝－(2－1)＝－1，因此f(0)＋f(－1)＝－1. 答案　－1 3.(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则下列说法正确的是________(填序号). ①f(x)在(0，2)上单调递增； ②f(x)在(0，2)上单调递减； ③y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称； ④y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称. 解析　由题意知，f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，③正确，④错误；又f′(x)＝(0<x<2)，故f(x)在(0，1)上单调递增，在[1，2)上单调递减，①②错误.＝－ 答案　③ 4.(2019·南京、盐城模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数.如果实数t满足f(ln t)＋f<2f(1)，那么t的取值范围是________. 解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴原不等式可变为2f(ln t)<2f(1)，即f(ln t)<f(1)，∵f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，∴|ln t|<1，则<t<e. 答案　 5.(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________. 解析　因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝.＝＝cos 所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f 答案　 考点一　函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； ＋ (2)f(x