2.5 二次函数与幂函数（课件+word）- 【创新设计】2020版高考一轮总复习理科数学（江苏专用）

第5讲　二次函数与幂函数 考试要求　1.幂函数的概念，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的图象与性质(A级要求)；2.二次函数的图象与性质及应用(B级要求).，y＝x 知 识 梳 理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)常见的五种幂函数的性质 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 两点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2x是幂函数.(　　) (2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数.(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是.(　　) 解析　(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错误. (3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错误. (4)对称轴x＝－，故(4)错误.小于m或大于n时，最值不是，当－ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________. 解析　由解得m＝1或2. 经检验m＝1或2都适合. 答案　1或2 3.已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是________. 解析　由f(1)＝f(2)＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1，2，则p＝－3，q＝2，∴f(x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6. 答案　6 4.已知a＝2，则a，b，c的大小关系为________.，c＝25，b＝3 解析　因为a＝2在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b. 又y＝x，c＝5，b＝3＝4 答案　c>a>b 5.(2017·北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________. 解析　由题意知，y＝1－x，[来源:学科网] ∵y≥0，x≥0，∴0≤x≤1， 则x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2. ＋ 当x＝， 时，x2＋y2取最小值 当x＝0或x＝1时，x2＋y2取最大值1， ∴x2＋y2∈. 答案　 考点一　幂函数的图象和性质 【例1】 (1)(2019·连云港模拟)已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围为________. (2)(2019·盐城模拟)幂函数的图象经过点(4，2)，若0<a<b<1，则下列各式正确的是________(填序号). ①f(a)<f(b)<f； <f ②f<f(b)<f(a)； <f ③f(a)<f(b)<f； <f ④f<f(b).<f(a)<f 解析　(1)∵幂函数f(x)＝x－单调递减，定义域为(0，＋∞)， ∴由f(a＋1)<f(10－2a)，得 解得3<a<5. (2)设幂函数为f(x)＝xα，将(4，2)代入得α＝， 所以f(x)＝x，该函数在(0，＋∞)上为增函数， 又0<a<b<1，所以>1， > 即0<a<b<， < 所以f(a)<f(b)<f.<f 答案　(1)(3，5)　(2)③ 规律方法　(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性； (2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【训练1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是________(填序号). (2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0， ＋∞)上是减函数，则n的值为________. 解析　(1)设f(x)＝xα(α∈R)，则4α＝2， ∴α＝，根据图象的特征，③正确.，因此f(x)＝x (2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上是减函数， ∴∴n＝1， 又