2.9 函数与方程（课件+word）- 【创新设计】2020版高考一轮总复习理科数学（江苏专用）

第9讲　函数与方程 考试要求　函数的零点与方程根的关系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断(B级要求). 知 识 梳 理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. (3)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.(　　) (4)当x>0时，函数y＝2x与y＝x2的图象有两个交点.(　　) 解析　(1)函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标，故(1)错；(2)函数f(x)＝x2在区间(－1，1)内有零点，且函数图象连续，但f(－1)·f(1)>0. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________. 解析　∵f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0， ∴f(x)在(－1，0)内有零点，又f(x)为增函数， ∴函数f(x)有且只有一个零点. 答案　1 3.(教材改编)已知f(x)＝ax2＋bx＋c的零点为1，3，则函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴是________. 解析　∵y＝a(x－1)(x－3)＝a(x－2)2－a， ∴对称轴为x＝2. 答案　x＝2 4.已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是________. 解析　转化为f(x)＝m(x＋1)方程有两个解， 即转化为y＝f(x)与y＝m(x＋1)有两个交点， 直线y＝m(x＋1)恒过定点N(－1，0)，显然KAN＝，kBN＝－2， 当直线y＝m(x＋1)与y＝， －3相切时，m＝－ 结合图形易知－.＜m≤－2，或0＜m≤ 答案　∪ 5.(2019·苏北四市调研)函数f(x)＝的零点个数是________. 解析　当x＞0时，令g(x)＝ln x，h(x)＝x2－2x. 画出g(x)与h(x)的图象如图： 故当x＞0时，f(x)有2个零点. 当x≤0时，由4x＋1＝0，得x＝－，综上函数f(x)的零点个数为3. 答案　3 考点一　函数的零点与方程的根 【例1】 (1)(2019·盐城调研)已知函数f(x)＝ln x－的零点为x0，则x0所在的区间是________(填序号). ①(0，1)；②(1，2)；③(2，3)；④(3，4). (2)(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________. 解析　(1)∵f(x)＝ln x－>0，∴x0∈(2，3).<0，f(3)＝ln 3－＝ln 1－2<0，f(2)＝ln 2－在(0，＋∞)为增函数，又f(1)＝ln 1－ (2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示.＝当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋ 由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4. 答案　(1)③　(2)4 规律方法　(1)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数. (2)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法. (3)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数. 【训练1】 (1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中包含f(x)零点的区间是________(填序号). ①(0，1); ②(1，2)；③(2，4); ④(4，＋∞). (2)已知函数f(x)＝2x－3x，方程f(x)＝0的根的个数为________. (3)(2019·南