2.10 函数模型及其应用（课件+word）- 【创新设计】2020版高考一轮总复习理科数学（江苏专用）

第10讲　函数模型及其应用 考试要求　1.指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征(A级要求)；2.函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用(B级要求)；3.利用导数解决某些实际问题(B级要求). 知 识 梳 理 1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型 f(x)＝bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (2)指数、对数、幂函数模型性质比较 函数[来源:学科网ZXXK] 性质 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢[来源:学*科*网Z*X*X*K] 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 2.利用导数研究函数的单调性、极值与最值在解决生活中的优化问题时应用广泛，但要注意结合实际意义(比如定义域问题)作答. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“指数爆炸”是指数型函数y＝abx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度的形象比喻.(　　) (2)幂函数增长比直线增长更快.(　　) (3)函数y＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上单调递增.(　　) (4)运用导数求解实际问题时，一定要注意自变量的实际意义.(　　) 解析　(1)“指数爆炸”针对b>1，a>0的指数型函数，故(1)错；(2)比如y＝x(负舍)，则函数在(0，＋∞)不单调，故(3)错.＝0，得x＝在(1，＋∞)上比y＝x的增长速度慢，故(2)错；(3)由y′＝1－ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.某商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件. 解析　y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)， 当0<x<3时，y′>0； 当x>3时，y′<0. 故当x＝3时，该商品的年利润最大. 答案　3 3.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是________元. 解析　设每台原价是a元，则a(1＋40%)·80%＝a＋270，解得a＝2 250. 答案　2 250 4.若做一个容积为256的正方形底无盖水箱，为使它的用料最省(全面积最小)，则它的高为________. 解析　设底的边长为a，水箱的高为h，即容积V＝a2h，由已知V＝256得a2h＝256，故h＝＝4.，令f′(a)>0得a>8；令f′(a)<0得0<a<8，故f(a)在(0，8)递减，在(8，＋∞)递增，故a＝8时S最小，此时h＝＝，记S＝f(a)，则f′(a)＝2a－＝a2＋.又用料S＝a2＋4ah＝a2＋4a· 答案　4 5.(必修1P100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(单位：元)与销售时间t(单位：天)的函数关系为P＝t∈N，且该商品的日销售量Q(单位：件)与销售时间t(单位：天)的函数关系为Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N)，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第________天. 解析　这种商品日销量金额 y＝P·Q＝ 当0<t<25时，y＝－(t－10)2＋900， ∴当t＝10时，ymax＝900， 当25≤t≤30时，y＝(t－70)2－900， ∴当t＝25时，ymax＝1 125. 综上，30天中日销量金额最大的一天是第25天. 答案　25 考点一　用函数图象刻画变化过程 【例1】 某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(单位：万元). 分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式. 解　设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元. 由题意设f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0). 由图①知f(1)＝. ，∴k1＝ 由图②知g(4)＝. ，∴k2＝ ∴f(x)＝(x≥0)